123x

002071

Dr. rer. nat. Marc Gebhardt

12. August 2026

Von der analytischen Kriechkurve, über das rheologische Modell zum zeitabhängigen Dehnungszustand

In diesem Artikel soll anschaulich an einem vereinfachten Beispiel auf die theoretischen Hintergründe und die Umsetzung der zeitabhängigen Analyse des Kriechens in RFEM 6 eingegangen werden.

Einleitung

Wird ein Bauteil dauerhaft mit einer konstanten Last (Spannung \(\sigma = \text{konstant}\)) belastet, kommt es neben der sofortigen elastischen Verformung zu einer zeitabhängigen, zusätzlichen Kriechdehnung \(\varepsilon(t)\). Dies ist vor allem für Bauteile aus Beton und Holz relevant. Die Berücksichtigung dieses Effektes kann vereinfacht über eine Verringerung des Elastizitätsmoduls erfolgen. Für eine sehr viel genauere Betrachtung sollte jedoch eine zeitinkrementelle Berechnung über den Einsatz eines rheologischen Modells, in diesem Fall des Kelvin-Ketten-Modells, erfolgen. Hierdurch können Umlagerungseffekte im statischen System und materielle Nichtlinearitäten berücksichtigt werden. Durch die Neuberechnung der Steifigkeit in jedem Zeitinkrement ist somit ein realistischeres Tragverhalten und beispielsweise die Abbildung von Bauzuständen und die gegenseitige Beeinflussung analysierbar. Weitere Informationen können den nachfolgenden Links entnommen werden:

Modellbeschreibung und Kriechzahlermittlung nach Eurocode 2

Zum Vergleich und der Darstellung der Analysemöglichkeiten in RFEM 6 wurde ein Trivialmodell angelegt. Dieses besteht aus einer 1 m langen eingespannten Stütze mit einem Rechteckquerschnitt und einer Kantenlänge von 100 mm. Als Material wurde ein C25/30 gewählt. Die Belastung erfolgt durch eine Druckraft von 100 kN am Stützenkopf. Das Modell ist im nachfolgenden Bild gezeigt und kann über den hinterlegten Link heruntergeladen werden.

Die analytische Kriechkurve wird der EN 1992-1-1 Anhang B entnommen und kann nach der nachfolgenden Formel berechnet werden. Und gibt das Verhältnis der Kriechdehnung zur elastischen Dehnung an.

φ (t, t_{0}) = \frac{ε_{c r}}{ε_{e l}} = \frac{ε_{c} (t) - ε_{c 0}}{ε_{c 0}} = φ_{0} \cdot {(\frac{t - t_{0}}{β_{H} + (t - t_{0})})}^{0, 3}

φ(t,t0)	Kriechzahl
εcr	Kriechdehnung
εel	Elastische Dehnung
εc(t)	Dehnung des Betons über Zeit
εc0	Sofortdehnung des Betons
φ0	Grundzahl des Kriechens
βH	Beiwert zur Berücksichtigung der relativen Luftfeuchte und der wirksamen Bauteildicke

Kriechzahl nach EN 1992-1-1, Anhang B

Die Gesamtdehnung zu einem beliebigen Zeitpunkt kann nach der nachfolgenden Formel berechnet werden.

ε_{c} (t) = ε_{c 0} \cdot (1 + φ (t, t_{0})) = \frac{σ_{0}}{E_{c m}} \cdot (1 + φ (t, t_{0}))

εc(t)	Dehnung des Betons über Zeit
εc0	Sofortdehnung des Betons
φ(t,t0)	Kriechzahl
σ0	Spannung (konstant)
Ecm	Mittlerer Elastizitätsmodul des Betons

Gesamtdehnung (Kriechzahl)

In RFEM 6 kann im Dialog "Material bearbeiten" im Reiter "Zeitabhängige Kennwerte" die Berechnung mit Zwischenwerten nachvollzogen und für den gewählten Querschnitt oder die Dicke an logarithmisch verteilten Kontrollpunkten geprüft werden. Eine weitere Beeinflussung und Visualisierung ist über die Option "Erweiterte zeitabhängige Kennwerte des Betons" in den "Dialogen Querschnitt bearbeiten" und "Dicke bearbeiten" verfügbar. Der nachfolgenden Link zum Handbuch geht hierauf genauer ein und im darauf folgenden Bild sind die Werte des hier verwendeten Querschnitts gezeigt.

Online-Handbücher RFEM 6 | Zeitabhängige Analyse (TDA) | Eingabe | Material

KB 2071 | Zeitabhängige Kennwerte im Materialdialog

Rheologisches Modell

Das Kelvin-Ketten-Modell

Für die zeitabhängige Berechnung des Kriechverhaltens ist in RFEM 6 das Kelvin-Ketten-Modell als rheologisches Modell implementiert. Bei dieser Kelvin-Kette werden Kelvin-Voigt-Elemente mit einer freien Feder E₀ und einem optionalen freien Dämpfer η_∞ in Reihe geschalten. Die freie Feder ist verantwortlich für die Sofortdehnung, welche dem Ergebnis einer normalen statischen Analyse entspricht. Auf den freien Dämpfer, der zu einem im Unendlichen weiter zunehmenden Dehnungsanteil führen würde, wird auf Grund der Relevanz für das im Bauwesen typischen Materialien verzichtet. Ein Kelvin-Voigt-Element besteht hierbei aus einem Feder- und einem Dämpfer-Element, welche parallel geschalten sind. Gezeigt ist dies schematisch im nachfolgenden Bild:

Verallgemeinertes Kelvin-Voigt-Ketten-Modell

Die Gesamtkriechfunktion der Kelvin-Kette ergibt sich aus der Summation der Anteile der in Reihe geschalteten Elemente. Sie beschreibt das Dehnungsverhalten im Bezug zur einwirkenden Spannung über die Zeit. Die Kelvin-Voigt Elemente besitzen somit zwei anpassbare Variablen: Die Steifigkeit E_k und die sogenannte Retardationszeit 𝜏_k. Diese wiederum ergibt sich aus der dynamischen Viskosität, geteilt durch die Steifigkeit.

J (t) = \frac{ε (t)}{σ} = \frac{1}{E_{0}} + \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{E_{k}} (1 - e^{- \frac{t}{τ_{k}}}) + \frac{t}{η_{∞}}

ε	Dehnung
t	Zeit
σ	Spannung
E0	Elastizitätsmodul der freien Feder (Sofortdehnung)
k	Aktuelles Element
n	Anzahl der Elemente
Ek	Elastizitätsmodul des aktuellen Elements
e	Eulersche Zahl
τk=ηk/Ek	Retardationszeit des aktuellen Elements
η∞	Dynamische Viskosität des freien Dämpfers (Newtonsches Fließen)

Verallgemeinertes Kelvin-Ketten-Modell - Gesamtkriechfunktion (Kriechkompliance)

Anpassung an das analytische Kriechverhalten

Die Anpassung der Kelvin-Voigt-Elemente erfolgt mittels eines Fits über die Minimierung der quadratischen Differenz derer Kriechzahlanteile im Vergleich zur analytischen Lösung.

min_{α_{k}} \sum_{i = 1}^{m} {(φ (t_{i}) - φ_{∞} \sum_{k = 1}^{n} α_{k} (1 - e^{- t_{i} / τ_{k}}))}^{2}

αk	Gewichtsfaktor (Nebenbedingungen: größer 0 und deren Summe muss 1 ergeben)
i	Zeitinkrement
m	Anzahl Zeitinkremente
φ(ti)	Kriechzahl zum Zeitpunkt i
φ∞	Kriechzahl (unendlich)
k	Aktuelles Element
n	Anzahl Elemente
e	Eulersche Zahl
ti	Zeit am Zeitpunkt i
τk=ηk/Ek	Retardationszeit des aktuellen Elements

Anpassung Kriechzahl-Prony-Reihe

Um dies visuell darzustellen wurde mittels eines Skripts eine kleinste Quadrate Anpassung für unterschiedliche Anzahlen an Kelvin-Ketten-Elemente vorgenommen. Das nachfolgende Bild zeigt links den Vergleich der Kelvin-Ketten mit 1, 3, 5 und 10 Elementen mit der analytischen Kriechfunktion und den aus RFEM 6 entnommenen Kontrollpunkten. Wie hier zu sehen ist, führt eine Erhöhung der Elementzahl auch zu einer Verringerung der maximalen Abweichung. Damit geht natürlich ebenfalls ein erhöhter Rechenaufwand einher. Eine hinreichende Genauigkeit konnte bereits mit 5 Kelvin-Voigt-Elementen ohne besondere Gewichtung erreicht werden.

KB 2071 | Kriechkoeffizient über Zeit

Die Retardationszeiten können hierbei vereinfacht als der Zeitpunkt betrachtet werden, ab welcher das zugehörige Element einen Beitrag zum Kriechverhalten leistet. Die nachfolgende Tabelle zeigt dies für die Kelvin-Kette mit 5 Elementen in Kombination mit Anteilen zur Endkriechzahl aus den Anteilen der einzelnen Elemente. Die Kriechzahl lässt sich hierbei nach der folgenden Formel abschätzen.

φ_{a p p} (t) = \sum_{k = 1}^{n} φ_{k} \cdot (1 - e^{- (t - t_{0}) / τ_{k}})

φ(app)	Approximierte Kriechzahl zum Zeitpunkt t
φk	Kriechzahl des Elements k
k	Aktuelles Element
n	Anzahl Elemente
e	Eulersche Zahl
ti	Aktuelle Zeit
t0	Zeit zum Belastungsbeginn
τk=ηk/Ek	Retardationszeit des aktuellen Elements

Approximierte Kriechzahl

Retardationszeiten, Steifigkeiten und Kriechzahlanteile der Kelvin-Kette mit 5 Elementen
Nr.	τ_k [d]	E_k [MPa]	φ_k [—]	Anteil [%]
1	0,05	107 683	0,2879	8,7
2	0,77	101 086	0,3067	9,3
3	8,52	49 094	0,6314	19,1
4	86,83	24 862	1,2469	37,6
5	759,2	36 940	0,8392	25,3
Summe	—	—	3,3121	100,0

Zeitinkrementelle Berechnung des Kriechverhaltens

Die Analyse des Kriechverhaltens erfolgte im hier behandelten Beispiel mittels Teilung in 10 linear verteilte Zeitinkremente. Somit wird alle 1823,5 Tage ein Zustand berechnet. Im ersten Schritt wird die Sofortdehnung zu 0,323 bestimmt. Darauf folgt das erste Zeitinkrement von 28 Tagen (Belastungsbeginn) bis zu Tag 1851,5. Das nachfolgende Bild zeigt den Vergleich der inkrementellen Berechnung mittels RFEM und der analytischen Lösung auf der linken Seite. Im rechten Diagramm sind in Anlehnung an das vorherige Bild die Dehnungsanteile für eine Kelvin-Kette mit 5 Elementen gestapelt dargestellt.

KB 2071 | Dehnungsverlauf über Zeit

In der nachfolgenden Tabelle sind die Ergebnisse der zeitinkrementellen Berechnung dargestellt. In Anlehnung an eine vereinfachte linearen Ansatz des Kriechverhaltens über die Reduktion des Elastizitätsmoduls, lässt sich in diesem einfachen Beispiel ebenfalls ein effektiver Elastizitätsmodul pro Zeitinkrement bestimmen. Somit ergebe sich im ersten Schritt, durch den logarithmischen Charakter der zugrundeliegenden Funktion bereits eine Reduktion um rund 76%. Die Reduktion mit der Endkriechzahl von 3,349 führt zu einer Reduktion um 77 % auf 7126 MPa.

E_{c, e f f, t} = \frac{σ}{ε (t)} = \frac{E_{c m}}{1 + φ (t, t_{0})}

Ec,eff,t	Effektiver Elastizitätsmodul des Betons
Ecm	Mittlerer Elastizitäsmodul des Betons
φ(t,t0)	Kriechzahl zum Zeitpunkt t, bezogen auf Anfangsszeit

Effektiver Elastizitätsmodul zum Zeitpunkt t

Dehnung über die Zeit
Schritt	t [d]	Δt [d]	ε [‰]	Δε [‰]	E_eff [MPa]	ΔE_eff [MPa]
0	28.0	0.0	0.323	0.000	30999	0
1	1851.5	1823.5	1.356	1.034	7373	-23626
2	3674.9	1823.4	1.381	0.025	7241	-132
3	5498.4	1823.5	1.391	0.010	7190	-51
4	7321.8	1823.4	1.396	0.005	7166	-24
5	9145.3	1823.5	1.398	0.002	7154	-12
6	10968.7	1823.4	1.399	0.001	7146	-8
7	12792.1	1823.4	1.400	0.001	7142	-4
8	14615.6	1823.5	1.401	0.001	7138	-4
9	16439.0	1823.4	1.402	0.001	7134	-3
10	18262.5	1823.5	1.402	0.001	7131	-3

Abschließende Bemerkungen

In diesem vereinfachten Beispiel zeigt die zeitinkrementelle Berechnung mit dem Ansatz des linearen Kriechens über die Reduktion des Elastizitätsmoduls keinen Unterschied. Dies kann jedoch nicht grundsätzlich angenommen werden. Beispielsweise können nur mit einer direkten inkrementellen Berücksichtigung mittels des Ansatzes eines rheologischen Modells nichtlineares Materialverhalten und die Bauteilinteraktion sowie veränderte Belastungszustände und Bauzustände korrekt berücksichtigt werden.

Autor

Marc ist im Product Engineering mit Schwerpunkt Geotechnik tätig und unterstützt zusätzlich im Customer Support. Seine fachliche Expertise bringt er gezielt in komplexe Fragestellungen ein.

Links

;