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Dr. rer. nat. Marc Gebhardt

2026-08-12

从解析蠕变曲线出发，经由流变学模型，最终得到随时间变化的应变状态

本文将通过一个简化的示例，直观地介绍RFEM 6中进行徐变时变分析的理论背景与实现方法。

引言

如果一个构件持续受到恒定荷载（应力 \(\sigma = \text{konstant}\)）作用，除了瞬时弹性变形外，还会产生随时间变化的附加徐变应变 \(\varepsilon(t)\)。这尤其与混凝土和木结构构件相关。可以通过折减弹性模量的方法来简化考虑该效应。然而，为了进行更精确的分析，应使用流变模型（在这种情况下为开尔文链模型）进行时间增量计算。通过这种方法，可以考虑静力体系中的内力重分布效应和材料非线性。通过在每个时间增量中重新计算刚度，可以分析更真实的承载行为，例如模拟施工阶段及其相互影响。更多相关信息请参见以下链接：

根据欧洲规范 2 的模型描述和徐变系数确定

为了在 RFEM 6 中比较和展示分析的可能性，创建了一个简单模型。该模型由一个 1 米长的悬臂柱组成，截面为矩形，边长为 100 毫米。材料选用 C25/30。在柱顶施加 100 kN 的压力荷载。模型如下图所示，可通过附带的链接下载。

分析用的徐变曲线取自 EN 1992-1-1 附录 B，可按以下公式计算，它给出了徐变应变与弹性应变之比。

φ (t, t_{0}) = \frac{ε_{c r}}{ε_{e l}} = \frac{ε_{c} (t) - ε_{c 0}}{ε_{c 0}} = φ_{0} \cdot {(\frac{t - t_{0}}{β_{H} + (t - t_{0})})}^{0, 3}

φ(t,t0)	徐变系数
εcr	徐变应变
εel	弹性伸长
εc(t)	混凝土随时间的应变
εc0	混凝土的瞬时变形
φ0	徐变基数
βH	系数，用于考虑相对湿度和有效构件厚度的影响

徐变系数

任意时间点的总应变可按以下公式计算。

ε_{c} (t) = ε_{c 0} \cdot (1 + φ (t, t_{0})) = \frac{σ_{0}}{E_{c m}} \cdot (1 + φ (t, t_{0}))

εc(t)	混凝土应变随时间变化
εc0	混凝土的瞬时拉伸
φ(t,t0)	蠕变系数
σ0	应力（常数）
Ecm	混凝土的平均弹性模量

总应变 (徐变系数)

在 RFEM 6 中，可以在“编辑材料”对话框的“时间相关特性”选项卡中，追溯中间值的计算过程，并检查所选截面或厚度在对数分布的控制点上的结果。通过“编辑截面”和“编辑厚度”对话框中的“高级混凝土时间相关特性”选项，可以进行进一步的影响分析和可视化。下面的手册链接对此进行了更详细的说明，随后的图片显示了此处使用截面的数值。

RFEM 6 在线手册 | 时变分析 (TDA) | 输入 | 材料

KB 2071 | 材料对话框中的时间相关参数

流变模型

开尔文链模型

为了对徐变行为进行与时间相关的计算，RFEM 6 中采用了开尔文链模型作为流变模型。在这个开尔文链中，开尔文-沃伊特元件与一个自由弹簧 E₀ 和一个可选的自由阻尼器 η_∞ 串联连接。自由弹簧负责瞬时变形，这与常规静力分析的结果相对应。考虑到其与建筑行业典型材料的相关性，此处省略了自由阻尼器，因为它会导致在无限时间内持续增加的变形分量。开尔文-沃伊特元件由一个弹簧元件和一个阻尼元件并联组成。其示意图如下所示：

广义开尔文-沃伊特链模型

开尔文链的总徐变函数由串联元件的分量求和得出。它描述了相对于作用应力随时间变化的应变行为。因此，开尔文-沃伊特元件有两个可调整的变量：刚度 E_k 和所谓的延迟时间 𝜏_k。后者由动力粘度除以刚度得出。

J (t) = \frac{ε (t)}{σ} = \frac{1}{E_{0}} + \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{E_{k}} (1 - e^{- \frac{t}{τ_{k}}}) + \frac{t}{η_{∞}}

ε	应变
t	时间
σ	应力
E0	frei弹簧的弹性模量（瞬时应变）
k	当前元素
n	构件数量
Ek	当前构件的弹性模量
e	欧拉数
τk=ηk/Ek	当前构件的延迟时间
η∞	自由阻尼器的动态粘度（牛顿流动）

广义开尔文链模型 - 总徐变函数（徐变柔量）

与分析徐变行为的适配

开尔文-沃伊特元件的适配通过对它们与分析解的徐变系数分量的平方差进行最小化拟合来完成。

min_{α_{k}} \sum_{i = 1}^{m} {(φ (t_{i}) - φ_{∞} \sum_{k = 1}^{n} α_{k} (1 - e^{- t_{i} / τ_{k}}))}^{2}

αk	权重系数（附加条件：大于 0 且其总和必须为 1）
i	时间增量
m	时间增量数量
φ(ti)	i 时刻的徐变系数
φ∞	蠕变系数（无限）
k	当前元素
n	构件数量
e	欧拉数
ti	时间在时间点 i
τk=ηk/Ek	当前构件的延迟时间

蠕变系数Prony级数调整

为了直观地展示这一点，通过脚本对数量不同的开尔文链元件进行了最小二乘法适配。下图左侧显示了具有 1、3、5 和 10 个元件的开尔文链与分析徐变函数以及从 RFEM 6 中提取的控制点的比较。如此处所示，增加元件数量也会减少最大偏差。当然，这也伴随着计算量的增加。即使在没有特别加权的情况下，使用 5 个开尔文-沃伊特元件也已能达到足够的精度。

KB 2071 | 随时间变化的徐变系数

在此，延迟时间可以简单地视为相關元件开始对徐变行为产生贡献的时间点。下表显示了具有 5 个元件的开尔文链这些延迟时间，并结合了单个元件对最终徐变系数的贡献份额。徐变系数可以根据以下公式进行估算。

φ_{a p p} (t) = \sum_{k = 1}^{n} φ_{k} \cdot (1 - e^{- (t - t_{0}) / τ_{k}})

φ(app)	近似蠕变系数在时间t处
φk	构件“k”的徐变系数
k	当前构件
n	构件数量
e	Eulersche Zahl
ti	当前时间
t0	时间到荷载开始
τk=ηk/Ek	当前构件的延迟时间

近似徐变系数

具有 5 个元件的开尔文链的延迟时间、刚度和徐变系数份额
1	0,05	107 683	0,2879	8,7
2	0,77	101 086	0,3067	9,3
3	8,52	49 094	0,6314	19,1
4	86,83	24 862	1,2469	37,6
5	759,2	36 940	0,8392	25,3
总计	—	—	3,3121	100,0

徐变行为的时间增量计算

在此讨论的示例中，通过将时间划分为 10 个线性分布的时间增量来分析徐变行为。因此，每 1823.5 天计算一个状态。第一步确定瞬时应变为 0.323。随后是第一个时间增量，从第 28 天（加载开始）到第 1851.5 天。下图左侧显示了使用 RFEM 进行增量计算与分析解的比较。右侧图表参考之前的图片，以堆叠方式显示了具有 5 个元件的开尔文链的应变分量。

KB 2071 | 应变曲线随时间变化

下表显示了时间增量计算的结果。参考通过折减弹性模量来简化线性考虑徐变行为的方法，在这个简单例子中，同样可以确定每个时间增量的有效弹性模量。因此，由于基本函数的对数特性，在第一步中就已经发生了大约 76% 的折减。使用最终徐变系数 3.349 进行的折减导致弹性模量减少 77% 至 7126 MPa。

E_{c, e f f, t} = \frac{σ}{ε (t)} = \frac{E_{c m}}{1 + φ (t, t_{0})}

Ec,eff,t	混凝土的有效弹性模量
Ecm	混凝土的平均弹性模量
φ(t,t0)	徐变系数在时间t时，相对于初始时间

有效弹性模量

随时间变化的应变
0	28.0	0.0	0.323	0.000	30999
1	1851.5	1823.5	1.356	1.034	7373
2	3674.9	1823.4	1.381	0.025	7241
3	5498.4	1823.5	1.391	0.010	7190
4	7321.8	1823.4	1.396	0.005	7166
5	9145.3	1823.5	1.398	0.002	7154
6	10968.7	1823.4	1.399	0.001	7146
7	12792.1	1823.4	1.400	0.001	7142
8	14615.6	1823.5	1.401	0.001	7138
9	16439.0	1823.4	1.402	0.001	7134
10	18262.5	1823.5	1.402	0.001	7131

结论

在这个简化的示例中，使用通过折减弹性模量来考虑线性徐变的方法进行时间增量计算，没有显示出差异。但是，这不能一概而论。例如，只有通过使用流变模型方法进行直接的增量计算，才能正确考虑非线性材料行为、构件相互作用以及变化的荷载状态和施工阶段。

作者

Marc 任职于产品工程部门，专注岩土工程，同时兼顾客户支持工作。他凭借专业经验，能够有效参与并解决复杂的技术问题。

链接

TDA，徐变，混凝土，开尔文链，流变模型，时间增量

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