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Marc Gebhardt

12.08.2026

De la courbe de fluage analytique, via le modèle rhéologique, à l'état de déformation dépendant du temps

Dans cet article, les bases théoriques et la mise en œuvre de l'analyse en fonction du temps du fluage dans RFEM 6 sont abordées à l'aide d'un exemple simplifié.

Introduction

Si un composant est soumis en permanence à une charge constante (contrainte \(\sigma = \text{constant}\)), une déformation de fluage supplémentaire \(\varepsilon(t)\), dépendante du temps, se produit en plus de la déformation élastique immédiate. Ceci est particulièrement pertinent pour les composants en béton et en bois. La prise en compte de cet effet peut être simplifiée en réduisant le module d'élasticité. Cependant, pour une analyse plus précise, un calcul incrémental dans le temps utilisant un modèle rhéologique, en l'occurrence le modèle de la chaîne de Kelvin, doit être effectué. Cela permet de prendre en compte les effets de redistribution dans le système statique et les non-linéarités matérielles. En recalculant la rigidité à chaque incrément de temps, un comportement structurel plus réaliste ainsi que, par exemple, la représentation des phases de construction et l'influence réciproque peuvent être analysés. Pour plus d'informations, veuillez consulter les liens suivants :

Description du modèle et détermination du coefficient de fluage selon l'Eurocode 2

À des fins de comparaison et de représentation des possibilités d'analyse dans RFEM 6, un modèle trivial a été créé. Il se compose d'un poteau encastré de 1 m de long avec une section rectangulaire de 100 mm de côté. Le matériau choisi est un C25/30. La charge est appliquée sous la forme d'une force de compression de 100 kN en tête du poteau. Le modèle est présenté dans l'image suivante et peut être téléchargé via le lien fourni.

La courbe de fluage analytique est tirée de l'EN 1992-1-1, Annexe B, et peut être calculée selon la formule suivante. Elle indique le rapport de la déformation de fluage à la déformation élastique.

φ (t, t_{0}) = \frac{ε_{c r}}{ε_{e l}} = \frac{ε_{c} (t) - ε_{c 0}}{ε_{c 0}} = φ_{0} \cdot {(\frac{t - t_{0}}{β_{H} + (t - t_{0})})}^{0, 3}

φ(t,t0)	Coefficient de fluage
εcr	Déformation de fluage
εel	Déformation élastique
εc(t)	Déformation du béton au fil du temps
εc0	Déformation immédiate du béton
φ0	Fluage de base
βH	Coefficient de prise en compte de l'humidité relative de l'air et de l'épaisseur efficace du composant

Coefficient de fluage

La déformation totale à un instant quelconque peut être calculée selon la formule suivante.

ε_{c} (t) = ε_{c 0} \cdot (1 + φ (t, t_{0})) = \frac{σ_{0}}{E_{c m}} \cdot (1 + φ (t, t_{0}))

εc(t)	Déformation du béton avec le temps
εc0	Déformation instantanée du béton
φ(t,t0)	Béton armé
σ0	Contrainte (constante)
Ecm	Module d'élasticité moyen du béton

Déformation totale (coefficient de fluage)

Dans RFEM 6, le calcul avec les valeurs intermédiaires peut être suivi dans la boîte de dialogue "Modifier le matériau", sous l'onglet "Propriétés dépendantes du temps", et vérifié pour la section ou l'épaisseur choisie à des points de contrôle répartis logarithmiquement. Une influence et une visualisation supplémentaires sont disponibles via l'option "Propriétés avancées du béton dépendantes du temps" dans les boîtes de dialogue "Modifier la section" et "Modifier l'épaisseur". Le lien suivant vers le manuel fournit plus de détails à ce sujet, et l'image suivante montre les valeurs pour la section utilisée ici.

Manuels en ligne RFEM 6 | Analyse dépendante du temps (TDA) | Saisie | Matériau

KB 2071 | Propriétés dépendantes du temps dans la boîte de dialogue des matériaux

Propriétés dépendantes du temps dans la boîte de dialogue des matériaux | KB 2071

Modèle rhéologique

Le modèle de la chaîne de Kelvin

Le modèle de la chaîne de Kelvin est implémenté dans RFEM 6 comme modèle rhéologique pour le calcul du comportement de fluage dépendant du temps. Dans cette chaîne de Kelvin, des éléments de Kelvin-Voigt sont connectés en série avec un ressort libre E₀ et un amortisseur libre optionnel η_∞. Le ressort libre est responsable de la déformation instantanée, qui correspond au résultat d'une analyse statique normale. L'amortisseur libre, qui conduirait à une part de déformation augmentant indéfiniment à l'infini, n'est pas utilisé en raison de sa pertinence pour les matériaux typiques du génie civil. Un élément de Kelvin-Voigt se compose ici d'un élément ressort et d'un élément amortisseur connectés en parallèle. Ceci est montré schématiquement dans l'image suivante :

Modèle généralisé de chaîne de Kelvin-Voigt

La fonction de fluage totale de la chaîne de Kelvin résulte de la somme des contributions des éléments connectés en série. Elle décrit le comportement en déformation par rapport à la contrainte appliquée au fil du temps. Les éléments de Kelvin-Voigt possèdent donc deux variables ajustables : La rigidité E_k et le temps de retard dit 𝜏_k. Celui-ci résulte à son tour de la viscosité dynamique divisée par la rigidité.

J (t) = \frac{ε (t)}{σ} = \frac{1}{E_{0}} + \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{E_{k}} (1 - e^{- \frac{t}{τ_{k}}}) + \frac{t}{η_{∞}}

ε	Déformation
t	Temps
σ	Contrainte
E0	Module d’élasticité du ressort libre (déformation immédiate)
k	Élément actuel
n	Nombre d'éléments
Ek	Modules d’élasticité de l’élément actuel
e	Nombre d'Euler
τk=ηk/Ek	Temps de retard de l'élément actuel
η∞	Viscosité dynamique de l'amortisseur libre (écoulement newtonien)

Modèle de chaîne de Kelvin généralisé - Déformation totale

Adaptation au comportement de fluage analytique

L'adaptation des éléments de Kelvin-Voigt est effectuée au moyen d'un ajustement par minimisation de la différence quadratique de leurs contributions au coefficient de fluage par rapport à la solution analytique.

min_{α_{k}} \sum_{i = 1}^{m} {(φ (t_{i}) - φ_{∞} \sum_{k = 1}^{n} α_{k} (1 - e^{- t_{i} / τ_{k}}))}^{2}

αk	Facteur de pondération (conditions secondaires : supérieur à 0 et leur somme doit être égale à 1)
i	Incréments de temps
m	Nombre d'incréments de temps
φ(ti)	Indice de fluage au temps i
φ∞	Coefficient de fluage (infini)
k	Élément actuel
n	Nombre d'éléments
e	Nombre d'Euler
ti	Temps au point i
τk=ηk/Ek	Temps de retard de l'Élément actuel Verwende dabei folgende Übersetzungen: "Element" als "Élément"

Adaptation série Prony du coefficient de fluage

Afin de visualiser cela, un ajustement par la méthode des moindres carrés a été réalisé à l'aide d'un script pour différents nombres d'éléments de la chaîne de Kelvin. L'image suivante montre à gauche la comparaison des chaînes de Kelvin avec 1, 3, 5 et 10 éléments avec la fonction de fluage analytique et les points de contrôle extraits de RFEM 6. Comme on peut le voir ici, une augmentation du nombre d'éléments conduit également à une réduction de l'écart maximal. Cela implique naturellement aussi une augmentation du temps de calcul. Une précision suffisante a pu être atteinte avec 5 éléments de Kelvin-Voigt sans pondération spéciale.

Coefficient de fluage en fonction du temps

Les temps de retard peuvent être considérés ici, de manière simplifiée, comme le moment à partir duquel l'élément associé contribue au comportement de fluage. Le tableau suivant montre cela pour la chaîne de Kelvin à 5 éléments en combinaison avec les parts du coefficient de fluage final issues des contributions des éléments individuels. Le coefficient de fluage peut être estimé ici selon la formule suivante.

φ_{a p p} (t) = \sum_{k = 1}^{n} φ_{k} \cdot (1 - e^{- (t - t_{0}) / τ_{k}})

φ(app)	Coefficient de fluage approximé à l’instant t
φk	Coefficient de fluage de l'élément k
k	Élément actuel
n	Nombre d'éléments
e	Nombre d'Euler
ti	Heure actuelle
t0	Temps du début de la charge
τk=ηk/Ek	Retardationszeit des aktuellen Éléments

Coefficient de fluage approximé

Temps de retard, rigidités et parts du coefficient de fluage de la chaîne de Kelvin à 5 éléments
N°	τ_k [j]	E_k [MPa]	φ_k [—]	Part [%]
1	0,05	107 683	0,2879	8,7
2	0,77	101 086	0,3067	9,3
3	8,52	49 094	0,6314	19,1
4	86,83	24 862	1,2469	37,6
5	759,2	36 940	0,8392	25,3
Somme	—	—	3,3121	100,0

Calcul incrémental du comportement de fluage dans le temps

L'analyse du comportement de fluage a été effectuée dans l'exemple traité ici en divisant le temps en 10 incréments de temps répartis linéairement. Ainsi, un état est calculé tous les 1823,5 jours. Dans la première étape, la déformation instantanée est déterminée à 0,323. Cela est suivi par le premier incrément de temps allant de 28 jours (début du chargement) jusqu'au jour 1851,5. L'image suivante montre la comparaison entre le calcul incrémental effectué avec RFEM et la solution analytique sur le côté gauche. Dans le diagramme de droite, conformément à l'image précédente, les parts de déformation pour une chaîne de Kelvin à 5 éléments sont représentées de manière empilée.

KB 2071 | Évolution de la déformation dans le temps

KB 2071 | Courbe de déformation dans le temps

Le tableau suivant présente les résultats du calcul incrémental dans le temps. Conformément à une approche linéaire simplifiée du comportement de fluage via la réduction du module d'élasticité, un module d'élasticité effectif peut également être déterminé pour chaque incrément de temps dans cet exemple simple. Ainsi, dans la première étape, en raison du caractère logarithmique de la fonction sous-jacente, une réduction d'environ 76 % se produit déjà. La réduction avec le coefficient de fluage final de 3,349 conduit à une réduction de 77 % à 7126 MPa.

E_{c, e f f, t} = \frac{σ}{ε (t)} = \frac{E_{c m}}{1 + φ (t, t_{0})}

Ec,eff,t	Module d’élasticité effectif du béton
Ecm	Module d’élasticité moyen du béton
φ(t,t0)	Coefficient de fluage à l'instant t, rapporté au temps initial

Module d'élasticité effectif

Déformation au fil du temps
Étape	t [j]	Δt [j]	ε [‰]	Δε [‰]	E_eff [MPa]	ΔE_eff [MPa]
0	28.0	0.0	0.323	0.000	30999	0
1	1851.5	1823.5	1.356	1.034	7373	-23626
2	3674.9	1823.4	1.381	0.025	7241	-132
3	5498.4	1823.5	1.391	0.010	7190	-51
4	7321.8	1823.4	1.396	0.005	7166	-24
5	9145.3	1823.5	1.398	0.002	7154	-12
6	10968.7	1823.4	1.399	0.001	7146	-8
7	12792.1	1823.4	1.400	0.001	7142	-4
8	14615.6	1823.5	1.401	0.001	7138	-4
9	16439.0	1823.4	1.402	0.001	7134	-3
10	18262.5	1823.5	1.402	0.001	7131	-3

Remarques finales

Dans cet exemple simplifié, le calcul incrémental dans le temps avec l'approche du fluage linéaire via la réduction du module d'élasticité ne montre aucune différence. Cependant, cela ne peut pas être présumé de manière générale. Par exemple, seule une prise en compte incrémentale directe utilisant l'approche d'un modèle rhéologique permet de prendre correctement en compte le comportement non linéaire du matériau et l'interaction des composants ainsi que les états de charge modifiés et les phases de construction.

Auteur

Marc travaille dans le développement produit avec une spécialisation en géotechnique et contribue également au support client. Il met son expertise technique à profit de manière ciblée dans des questions complexes.

Liens

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