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Dr. rer. nat. Marc Gebhardt

12-08-2026

De la curva de fluencia analítica, pasando por el modelo reológico, hasta el estado de deformación dependiente del tiempo.

En este artículo, se abordarán de forma ilustrativa los fundamentos teóricos y la implementación del análisis dependiente del tiempo de la fluencia en RFEM 6, utilizando un ejemplo simplificado.

Introducción

Si un componente estructural se somete permanentemente a una carga constante (tensión \(\sigma = \text{constante}\)), además de la deformación elástica instantánea, se produce una deformación de fluencia adicional dependiente del tiempo \(\varepsilon(t)\). Esto es relevante principalmente para componentes estructurales de hormigón y madera. La consideración de este efecto puede realizarse de forma simplificada mediante una reducción del módulo de elasticidad. Sin embargo, para un análisis mucho más preciso, debe realizarse un cálculo incremental en el tiempo mediante el uso de un modelo reológico, en este caso el modelo de la cadena de Kelvin. De esta manera, se pueden considerar los efectos de redistribución en el sistema estático y las no linealidades del material. Recalculando la rigidez en cada incremento de tiempo, se puede analizar un comportamiento estructural más realista y, por ejemplo, la representación de fases de construcción y la interacción mutua. Se puede encontrar más información en los siguientes enlaces:

Descripción del modelo y determinación del coeficiente de fluencia según Eurocódigo 2

Para la comparación y la presentación de las posibilidades de análisis en RFEM 6, se creó un modelo trivial. Este consiste en un pilar empotrado de 1 m de longitud con una sección rectangular y una longitud de lado de 100 mm. Se eligió un material C25/30. La carga se aplica mediante un esfuerzo de compresión de 100 kN en la cabeza del pilar. El modelo se muestra en la siguiente imagen y se puede descargar a través del enlace proporcionado.

La curva de fluencia analítica se toma del Anexo B de la norma EN 1992-1-1 y puede calcularse según la siguiente fórmula. Proporciona la relación entre la deformación de fluencia y la deformación elástica.

φ (t, t_{0}) = \frac{ε_{c r}}{ε_{e l}} = \frac{ε_{c} (t) - ε_{c 0}}{ε_{c 0}} = φ_{0} \cdot {(\frac{t - t_{0}}{β_{H} + (t - t_{0})})}^{0, 3}

φ(t,t0)	Coeficiente de fluencia
εcr	Deformación por fluencia
εel	Dehnung elástica
εc(t)	Deformación del hormigón sobre tiempo
εc0	Dehnung sofortige des Hormigón
φ0	Fluencia base
βH	Coeficiente para tener en cuenta la humedad relativa del aire y el espesor efectivo del componente

Coeficiente de fluencia

La deformación total en un momento dado puede calcularse según la siguiente fórmula.

ε_{c} (t) = ε_{c 0} \cdot (1 + φ (t, t_{0})) = \frac{σ_{0}}{E_{c m}} \cdot (1 + φ (t, t_{0}))

εc(t)	Deformación del hormigón a lo largo del tiempo
εc0	Alargamiento instantáneo del hormigón
φ(t,t0)	Coeficiente de fluencia
σ0	Tensión (constante)
Ecm	Módulo de elasticidad medio del hormigón

Deformación total (coeficiente de fluencia)

En RFEM 6, en el diálogo "Editar material" en la pestaña "Parámetros dependientes del tiempo", se puede reproducir el cálculo con valores intermedios y comprobar para la sección o el espesor seleccionados en puntos de control distribuidos logarítmicamente. Se dispone de una mayor influencia y visualización a través de la opción "Propiedades avanzadas del hormigón dependientes del tiempo" en los diálogos "Editar sección" y "Editar espesor". El siguiente enlace al manual profundiza en esto y en la siguiente imagen se muestran los valores de la sección aquí utilizada.

Manuales en línea RFEM 6 | Análisis dependiente del tiempo (TDA) | Entrada | Material

KB 2071 | Valores dependientes del tiempo en el diálogo de materiales

Propiedades dependientes del tiempo en el diálogo de materiales

Modelo reológico

El modelo de la cadena de Kelvin

Para el cálculo dependiente del tiempo del comportamiento de fluencia, se ha implementado en RFEM 6 el modelo de la cadena de Kelvin como modelo reológico. En esta cadena de Kelvin, los elementos de Kelvin-Voigt se conectan en serie con un muelle libre E₀ y un amortiguador libre opcional η_∞. El muelle libre es responsable de la deformación instantánea, que corresponde al resultado de un análisis estático normal. Se prescinde del amortiguador libre, que conduciría a una parte de la deformación que aumentaría continuamente hasta el infinito, debido a la relevancia para los materiales típicos en la construcción. Un elemento de Kelvin-Voigt consta aquí de un elemento de muelle y un elemento de amortiguador conectados en paralelo. Esto se muestra esquemáticamente en la siguiente imagen:

Modelo de cadena de Kelvin-Voigt generalizado

Modelo generalizado de cadena de Kelvin-Voigt

La función de fluencia total de la cadena de Kelvin resulta de la suma de las contribuciones de los elementos conectados en serie. Describe el comportamiento de la deformación en relación con la tensión aplicada a lo largo del tiempo. Los elementos de Kelvin-Voigt poseen, por tanto, dos variables adaptables: la rigidez E_k y el llamado tiempo de retardo 𝜏_k. Este, a su vez, resulta de la viscosidad dinámica dividida por la rigidez.

J (t) = \frac{ε (t)}{σ} = \frac{1}{E_{0}} + \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{E_{k}} (1 - e^{- \frac{t}{τ_{k}}}) + \frac{t}{η_{∞}}

ε	Deformación
t	Tiempo
σ	Tensión
E0	Módulo de elasticidad del muelle libre (extensión instantánea)
k	Elemento actual
n	Cantidad de elementos
Ek	Módulo de elasticidad del elemento actual
e	Número de Euler
τk=ηk/Ek	Tiempo de retardo del elemento actual
η∞	Viscosidad dinámica del amortiguador libre (flujo newtoniano)

Modelo de cadena de Kelvin generalizado - deformación total

Adaptación al comportamiento de fluencia analítico

La adaptación de los elementos de Kelvin-Voigt se realiza mediante un ajuste por mínimos cuadrados de la diferencia cuadrática de sus contribuciones al coeficiente de fluencia en comparación con la solución analítica.

min_{α_{k}} \sum_{i = 1}^{m} {(φ (t_{i}) - φ_{∞} \sum_{k = 1}^{n} α_{k} (1 - e^{- t_{i} / τ_{k}}))}^{2}

αk	Factor de peso (condiciones secundarias: mayor que 0 y su suma debe ser igual a 1)
i	Incrementos de tiempo
m	Número de incrementos de tiempo
φ(ti)	Coeficiente de fluencia en el tiempo i
φ∞	Coeficiente de fluencia (infinito)
k	Elemento actual
n	Número de elementos
e	Número de Euler
ti	Tiempo en el instante i
τk=ηk/Ek	Tiempo de retardo del elemento actual

Adaptación serie de Proni del coeficiente de fluencia

Para representar esto visualmente, se realizó un ajuste por mínimos cuadrados para diferentes números de elementos de la cadena de Kelvin mediante un script. La siguiente imagen muestra a la izquierda la comparación de las cadenas de Kelvin con 1, 3, 5 y 10 elementos con la función de fluencia analítica y los puntos de control tomados de RFEM 6. Como se puede ver aquí, un aumento del número de elementos también conduce a una reducción de la desviación máxima. Esto, naturalmente, también conlleva un mayor esfuerzo computacional. Se pudo lograr una precisión suficiente ya con 5 elementos de Kelvin-Voigt sin una ponderación especial.

Coeficiente de fluencia en función del tiempo

Los tiempos de retardo pueden considerarse de forma simplificada como el momento a partir del cual el elemento asociado contribuye al comportamiento de fluencia. La siguiente tabla muestra esto para la cadena de Kelvin con 5 elementos en combinación con las contribuciones al coeficiente de fluencia final de las contribuciones de los elementos individuales. El coeficiente de fluencia puede estimarse aquí según la siguiente fórmula.

φ_{a p p} (t) = \sum_{k = 1}^{n} φ_{k} \cdot (1 - e^{- (t - t_{0}) / τ_{k}})

φ(app)	Coeficiente de fluencia aproximado en el tiempo t
φk	Coeficiente de fluencia del elemento k
k	Elemento actual
n	Número de elementos
e	número de Euler
ti	Hora actual
t0	Tiempo para el inicio de la carga
τk=ηk/Ek	Tiempo de retardo del elemento actual

Coeficiente de fluencia aproximado

Tiempos de retardo, rigideces y contribuciones al coeficiente de fluencia de la cadena de Kelvin con 5 elementos
Nº	τ_k [d]	E_k [MPa]	φ_k [—]	Contribución [%]
1	0,05	107 683	0,2879	8,7
2	0,77	101 086	0,3067	9,3
3	8,52	49 094	0,6314	19,1
4	86,83	24 862	1,2469	37,6
5	759,2	36 940	0,8392	25,3
Suma	—	—	3,3121	100,0

Cálculo incremental en el tiempo del comportamiento de fluencia

El análisis del comportamiento de fluencia se realizó en el ejemplo aquí tratado mediante la división en 10 incrementos de tiempo distribuidos linealmente. Así, se calcula un estado cada 1823,5 días. En el primer paso, se determina la deformación instantánea en 0,323. A esto le sigue el primer incremento de tiempo de 28 días (inicio de la carga) hasta el día 1851,5. La siguiente imagen muestra la comparación del cálculo incremental mediante RFEM y de la solución analítica en el lado izquierdo. En el diagrama de la derecha, basándose en la imagen anterior, se muestran apiladas las contribuciones de deformación para una cadena de Kelvin con 5 elementos.

KB 2071 | Desarrollo de la deformación a lo largo del tiempo

Curva de deformación a lo largo del tiempo

En la siguiente tabla se muestran los resultados del cálculo incremental en el tiempo. Basándose en un enfoque lineal simplificado del comportamiento de fluencia mediante la reducción del módulo de elasticidad, también se puede determinar un módulo de elasticidad efectivo por incremento de tiempo en este sencillo ejemplo. Así, en el primer paso, debido al carácter logarítmico de la función subyacente, ya se produce una reducción de aproximadamente el 76%. La reducción con el coeficiente de fluencia final de 3,349 conduce a una reducción del 77% a 7126 MPa.

E_{c, e f f, t} = \frac{σ}{ε (t)} = \frac{E_{c m}}{1 + φ (t, t_{0})}

Ec,eff,t	Módulo de elasticidad efectivo del hormigón
Ecm	Módulo de elasticidad medio del hormigón
φ(t,t0)	Coeficiente de fluencia en el momento t, referido al tiempo inicial

Módulo de elasticidad efectivo

Deformación a lo largo del tiempo
Paso	t [d]	Δt [d]	ε [‰]	Δε [‰]	E_eff [MPa]	ΔE_eff [MPa]
0	28.0	0.0	0.323	0.000	30999	0
1	1851.5	1823.5	1.356	1.034	7373	-23626
2	3674.9	1823.4	1.381	0.025	7241	-132
3	5498.4	1823.5	1.391	0.010	7190	-51
4	7321.8	1823.4	1.396	0.005	7166	-24
5	9145.3	1823.5	1.398	0.002	7154	-12
6	10968.7	1823.4	1.399	0.001	7146	-8
7	12792.1	1823.4	1.400	0.001	7142	-4
8	14615.6	1823.5	1.401	0.001	7138	-4
9	16439.0	1823.4	1.402	0.001	7134	-3
10	18262.5	1823.5	1.402	0.001	7131	-3

Observaciones finales

En este ejemplo simplificado, el cálculo incremental en el tiempo con el enfoque de la fluencia lineal mediante la reducción del módulo de elasticidad no muestra ninguna diferencia. Sin embargo, esto no se puede asumir de forma general. Por ejemplo, solo con una consideración incremental directa mediante el enfoque de un modelo reológico se puede tener en cuenta correctamente el comportamiento no lineal del material, la interacción de los componentes estructurales, así como los estados de carga modificados y las fases de construcción.

Autor

Marc trabaja en Ingeniería de productos con especialización en geotecnia y además presta apoyo en Soporte técnico. Aporta su experiencia técnica de forma específica en cuestiones complejas.

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