123x

002071

Dr. rer. nat. Marc Gebhardt

12.8.2026

Od analytické křivky dotvarování přes reologický model k časově závislému stavu přetvoření

V tomto článku bude na zjednodušeném příkladu názorně vysvětlen teoretický základ a implementace časově závislé analýzy dotvarování v programu RFEM 6.

Úvod

Je-li konstrukční díl trvale zatížen konstantním zatížením (napětí \(\sigma = \text{konstantní}\)), dochází kromě okamžité elastické deformace k časově závislému, dodatečnému poměrnému dotvarování \(\varepsilon(t)\). To je relevantní především pro konstrukční díly z betonu a dřeva. Zohlednění tohoto efektu lze zjednodušeně provést snížením modulu pružnosti. Pro mnohem přesnější posouzení by však měl být proveden časově přírůstkový výpočet pomocí reologického modelu, v tomto případě modelu Kelvinova řetězce. Tím lze zohlednit redistribuční efekty ve statickém systému a materiálové nelinearity. Přepočtem tuhosti v každém časovém přírůstku je tak možné analyzovat realističtější chování nosné konstrukce a například zobrazit fáze výstavby a vzájemné ovlivňování. Další informace naleznete na následujících odkazech:

Popis modelu a stanovení součinitele dotvarování podle Eurokódu 2

Pro porovnání a znázornění možností analýzy v programu RFEM 6 byl vytvořen triviální model. Skládá se z vetknutého sloupu délky 1 m s obdélníkovým průřezem a délkou hrany 100 mm. Jako materiál byl zvolen beton C25/30. Zatížení je realizováno tlakovou silou 100 kN na hlavě sloupu. Model je znázorněn na následujícím obrázku a lze jej stáhnout pomocí uvedeného odkazu.

Analytická křivka dotvarování je převzata z EN 1992-1-1, přílohy B a lze ji vypočítat podle následujícího vzorce. Udává poměr poměrného dotvarování k poměrnému elastickému přetvoření.

φ (t, t_{0}) = \frac{ε_{c r}}{ε_{e l}} = \frac{ε_{c} (t) - ε_{c 0}}{ε_{c 0}} = φ_{0} \cdot {(\frac{t - t_{0}}{β_{H} + (t - t_{0})})}^{0, 3}

φ(t,t0)	Součinitel dotvarování
εcr	Dotvarování
εel	Pružné protažení
εc(t)	Přetvoření betonu v čase
εc0	Okamžitá deformace betonu
φ0	Základní hodnota dotvarování
βH	Součinitel pro zohlednění relativní vlhkosti vzduchu a účinné tloušťky konstrukčního prvku

Součinitel dotvarování

Celkové poměrné přetvoření v libovolném čase lze vypočítat podle následujícího vzorce.

ε_{c} (t) = ε_{c 0} \cdot (1 + φ (t, t_{0})) = \frac{σ_{0}}{E_{c m}} \cdot (1 + φ (t, t_{0}))

εc(t)	Přetvoření betonu v čase
εc0	Okamžité přetvoření betonu
φ(t,t0)	Součinitel dotvarování
σ0	Napětí (konstantní)
Ecm	Průměrný modul pružnosti betonu

Celková přetvoření (součinitel dotvarování)

V programu RFEM 6 lze v dialogu "Upravit materiál" na záložce "Časově závislé parametry" výpočet s mezihodnotami sledovat a zkontrolovat pro zvolený průřez nebo tloušťku na logaritmicky rozložených kontrolních bodech. Další ovlivnění a vizualizace je k dispozici prostřednictvím možnosti "Pokročilé časově závislé charakteristiky betonu" v dialogu "Upravit průřez" a "Upravit tloušťku". Následující odkaz do manuálu se tím zabývá podrobněji a na dalším obrázku jsou zobrazeny hodnoty zde použitého průřezu.

Online manuals RFEM 6 | Časově závislá analýza (TDA) | Vstup | Materiál

KB 2071 | Časově závislé charakteristiky v dialogu materiálu

Reologický model

Model Kelvinova řetězce

Pro časově závislý výpočet dotvarování je v programu RFEM 6 implementován model Kelvinova řetězce jako reologický model. V tomto Kelvinově řetězci jsou Kelvinovy-Voigtovy články s volnou pružinou E₀ a volitelným volným tlumičem η_∞ zapojeny do série. Volná pružina je zodpovědná za okamžité přetvoření, které odpovídá výsledku normální statické analýzy. Volný tlumič, který by vedl k deformačnímu podílu narůstajícímu do nekonečna, se vzhledem k relevanci pro materiály typické ve stavebnictví nepoužívá. Kelvinův-Voigtův článek sestává z pružinového a tlumicího prvku, které jsou zapojeny paralelně. Schematicky je to znázorněno na následujícím obrázku:

Zobecněný řetězcový model Kelvin-Voigtové

Generalizované Kelvin-Voigtovo řetězové model

Celková funkce dotvarování Kelvinova řetězce vyplývá ze součtu podílů prvků zapojených do série. Popisuje deformační chování v závislosti na působícím napětí v čase. Kelvinovy-Voigtovy články tak mají dvě nastavitelné proměnné: Tuhost E_k a takzvanou retardační dobu 𝜏_k. Ta je dána dynamickou viskozitou dělenou tuhostí.

J (t) = \frac{ε (t)}{σ} = \frac{1}{E_{0}} + \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{E_{k}} (1 - e^{- \frac{t}{τ_{k}}}) + \frac{t}{η_{∞}}

ε	Přetvoření
t	Čas
σ	Napětí
E0	Modul pružnosti volné pružiny (okamžité prodloužení)
k	Aktuální prvek
n	Počet prvků
Ek	Modul pružnosti aktuálního prvku
e	Eulerovo číslo
τk=ηk/Ek	Dobu zpoždění aktuálního prvku
η∞	Dynamická viskozita volného tlumiče (newtonovské proudění)

Zobecněný model Kelvinova řetězce - celkové přetvoření

Úprava na analytické chování při dotvarování

Úprava Kelvinových-Voigtových článků se provádí pomocí fitu, minimalizací kvadratického rozdílu jejich podílů součinitele dotvarování ve srovnání s analytickým řešením.

min_{α_{k}} \sum_{i = 1}^{m} {(φ (t_{i}) - φ_{∞} \sum_{k = 1}^{n} α_{k} (1 - e^{- t_{i} / τ_{k}}))}^{2}

αk	Váhový faktor (Omezující podmínky: větší než 0 a jejich součet musí být 1)
i	Časové přírůstky
m	Počet časových přírůstků
φ(ti)	Součinitel dotvarování v čase i
φ∞	součinitel dotvarování (nekonečno)
k	Aktuální prvek
n	Počet prvků
e	Eulerovo číslo
ti	Čas v čase i
τk=ηk/Ek	Doba retardace aktuálního prvku

Přizpůsobení součinitele dotvarování Pronyho řadou

Pro vizuální znázornění byla pomocí skriptu provedena úprava metodou nejmenších čtverců pro různé počty prvků Kelvinova řetězce. Následující obrázek ukazuje vlevo srovnání Kelvinových řetězců s 1, 3, 5 a 10 prvky s analytickou funkcí dotvarování a kontrolními body převzatými z programu RFEM 6. Jak je zde vidět, zvýšení počtu prvků vede také ke snížení maximální odchylky. To je samozřejmě doprovázeno zvýšenými výpočetními nároky. Dostatečné přesnosti bylo dosaženo již s 5 Kelvinovými-Voigtovými články bez zvláštního vážení.

KB 2071 | Součinitel dotvarování v čase

Retardační doby lze zjednodušeně považovat za časový okamžik, od kterého příslušný prvek přispívá k chování při dotvarování. Následující tabulka to ukazuje pro Kelvinův řetězec s 5 prvky v kombinaci s podíly na konečném součiniteli dotvarování z podílů jednotlivých prvků. Součinitel dotvarování lze odhadnout podle následujícího vzorce.

φ_{a p p} (t) = \sum_{k = 1}^{n} φ_{k} \cdot (1 - e^{- (t - t_{0}) / τ_{k}})

φ(app)	Přibližná hodnota součinitele dotvarování v čase t
φk	Součinitel dotvarování prvku k
k	Aktuální prvek
n	Počet prvků
e	Eulerovo číslo
ti	Aktuální čas
t0	Čas do začátku zatížení
τk=ηk/Ek	Doba zpoždění aktuálního prvku

Přibližný součinitel dotvarování

Rozdělení retardačních dob, tuhostí a podílů součinitele dotvarování pro Kelvinův řetězec s 5 prvky
Č.	τ_k [d]	E_k [MPa]	φ_k [—]	Podíl [%]
1	0,05	107 683	0,2879	8,7
2	0,77	101 086	0,3067	9,3
3	8,52	49 094	0,6314	19,1
4	86,83	24 862	1,2469	37,6
5	759,2	36 940	0,8392	25,3
Součet	—	—	3,3121	100,0

Časově přírůstkový výpočet chování při dotvarování

Analýza chování při dotvarování byla v tomto příkladu provedena rozdělením do 10 lineárně rozložených časových přírůstků. Stav je tedy počítán každých 1823,5 dne. V prvním kroku je určeno okamžité přetvoření na 0,323. Následuje první časový přírůstek od 28 dnů (začátek zatížení) do dne 1851,5. Následující obrázek ukazuje srovnání přírůstkového výpočtu pomocí programu RFEM a analytického řešení na levé straně. V pravém diagramu jsou analogicky k předchozímu obrázku skládaně znázorněny podíly přetvoření pro Kelvinův řetězec s 5 prvky.

Křivka přetvoření v čase

V následující tabulce jsou zobrazeny výsledky časově přírůstkového výpočtu. Analogicky ke zjednodušenému lineárnímu přístupu k chování při dotvarování pomocí redukce modulu pružnosti lze v tomto jednoduchém příkladu rovněž stanovit efektivní modul pružnosti pro každý časový přírůstek. V prvním kroku by tak v důsledku logaritmického charakteru základní funkce došlo ke snížení přibližně o 76 %. Snížení s konečným součinitelem dotvarování 3,349 vede k redukci o 77 % na 7126 MPa.

E_{c, e f f, t} = \frac{σ}{ε (t)} = \frac{E_{c m}}{1 + φ (t, t_{0})}

Ec,eff,t	Efektivní modul pružnosti betonu
Ecm	Střední modul pružnosti betonu
φ(t,t0)	Součinitel dotvarování v čase t, vztažený k počátečnímu času

Efektivní modul pružnosti

Přetvoření v závislosti na čase
Krok	t [d]	Δt [d]	ε [‰]	Δε [‰]	E_eff [MPa]	ΔE_eff [MPa]
0	28,0	0,0	0,323	0,000	30999	0
1	1851,5	1823,5	1,356	1,034	7373	-23626
2	3674,9	1823,4	1,381	0,025	7241	-132
3	5498,4	1823,5	1,391	0,010	7190	-51
4	7321,8	1823,4	1,396	0,005	7166	-24
5	9145,3	1823,5	1,398	0,002	7154	-12
6	10968,7	1823,4	1,399	0,001	7146	-8
7	12792,1	1823,4	1,400	0,001	7142	-4
8	14615,6	1823,5	1,401	0,001	7138	-4
9	16439,0	1823,4	1,402	0,001	7134	-3
10	18262,5	1823,5	1,402	0,001	7131	-3

Závěrečné poznámky

V tomto zjednodušeném příkladu nevykazuje časově přírůstkový výpočet s přístupem lineárního dotvarování pomocí redukce modulu pružnosti žádný rozdíl. To však nelze obecně předpokládat. Například pouze s přímým přírůstkovým zohledněním pomocí přístupu reologického modelu lze správně zohlednit nelineární chování materiálu a interakci konstrukčních dílů, jakož i změněné stavy zatížení a fáze výstavby.

Autor

Marc působí v Product Engineering se zaměřením na geotechniku a navíc podporuje i Customer Support. Své odborné znalosti cíleně uplatňuje při řešení složitých otázek.

Odkazy

;