123x

002071

Dr hab. inż. Marc Gebhardt

2026-08-12

Od analitycznej krzywej pełzania, przez model reologiczny, do zależnego od czasu stanu odkształcenia

W tym artykule zostanie omówione teoretyczne tło i implementacja analizy historii czasowej pełzania w RFEM 6 na podstawie uproszczonego przykładu.

Wprowadzenie

Jeśli element konstrukcyjny jest trwale obciążony stałym obciążeniem (naprężenie \(\sigma = \text{stałe}\)), oprócz natychmiastowego odkształcenia sprężystego występuje zależne od czasu dodatkowe odkształcenie pełzania \(\varepsilon(t)\). Jest to szczególnie istotne w przypadku elementów betonowych i drewnianych. Uwzględnienie tego efektu może nastąpić w uproszczony sposób poprzez zmniejszenie modułu sprężystości. W celu dokładniejszej analizy należy jednak przeprowadzić obliczenia przyrostowe w czasie z wykorzystaniem modelu reologicznego, w tym przypadku modelu łańcucha Kelvina. Pozwala to na uwzględnienie efektów redystrybucji w układzie statycznym i nieliniowości materiałowych. Poprzez ponowne obliczanie sztywności w każdym przyroście czasu możliwa jest analiza bardziej realistycznego zachowania nośnego oraz, na przykład, odwzorowanie etapów budowy i wzajemnych interakcji. Więcej informacji można znaleźć pod poniższymi linkami:

Opis modelu i wyznaczanie współczynnika pełzania według Eurokodu 2

W celu porównania i przedstawienia możliwości analizy w RFEM 6 utworzono trywialny model. Składa się on z utwierdzonego słupa o długości 1 m o przekroju prostokątnym i długości boku 100 mm. Wybrano materiał C25/30. Obciążenie stanowi siła ściskająca 100 kN przyłożona do głowicy słupa. Model pokazano na poniższym rysunku i można go pobrać za pomocą załączonego linku.

Analityczna krzywa pełzania pochodzi z Załącznika B do EN 1992-1-1 i można ją obliczyć za pomocą poniższego wzoru. Podaje ona stosunek odkształcenia pełzania do odkształcenia sprężystego.

φ (t, t_{0}) = \frac{ε_{c r}}{ε_{e l}} = \frac{ε_{c} (t) - ε_{c 0}}{ε_{c 0}} = φ_{0} \cdot {(\frac{t - t_{0}}{β_{H} + (t - t_{0})})}^{0, 3}

φ(t,t0)	Współczynnik pełzania
εcr	Pełznięcie odkształcenia
εel	Odkształcenie sprężyste
εc(t)	Odkształcenie betonu w czasie
εc0	Natychmiastowe odkształcenie betonu
φ0	Grundzahl des Kriechens Współczynnik pełzania
βH	Współczynnik uwzględniający wilgotność względną powietrza i efektywną grubość elementu

Współczynnik pełzania

Całkowite odkształcenie w dowolnym momencie można obliczyć za pomocą poniższego wzoru.

ε_{c} (t) = ε_{c 0} \cdot (1 + φ (t, t_{0})) = \frac{σ_{0}}{E_{c m}} \cdot (1 + φ (t, t_{0}))

εc(t)	Odkształcenie betonu w czasie
εc0	Odkształcenie doraźne betonu
φ(t,t0)	Współczynnik pełzania
σ0	Naprężenie (stałe)
Ecm	Średni moduł sprężystości betonu

Całkowite Odkształcenie (Współczynnik Pełzania)

W RFEM 6, w oknie dialogowym "Edytować materiał" w zakładce "Parametry zależne od czasu", można prześledzić obliczenia z wartościami pośrednimi i sprawdzić je w logarytmicznie rozłożonych punktach kontrolnych dla wybranego przekroju lub grubości. Dalsze dostosowywanie i wizualizacja są dostępne za pomocą opcji "Zaawansowane parametry betonu zależne od czasu" w oknach dialogowych "Edytować przekrój" i "Edytować grubość". Poniższy link do podręcznika omawia to bardziej szczegółowo, a na następnym rysunku pokazano wartości dla zastosowanego tutaj przekroju.

Online manuals RFEM 6 | Analiza historii czasowej | Dane | Materiał

KB 2071 | Charakterystyki zależne od czasu w oknie dialogowym materiału

KB 2071 | Parametry zależne od czasu w oknie dialogowym materiału

Model reologiczny

Model łańcucha Kelvina

Do zależnego od czasu obliczania zachowania pełzania w programie RFEM 6 zaimplementowano model łańcucha Kelvina jako model reologiczny. W tym łańcuchu Kelvina elementy Kelvina-Voigta są połączone szeregowo ze swobodną sprężyną E₀ i opcjonalnym swobodnym tłumikiem η_∞. Swobodna sprężyna odpowiada za odkształcenie natychmiastowe, które odpowiada wynikowi zwykłej analizy statycznej. Ze swobodnego tłumika, który prowadziłby do nieskończenie narastającej składowej odkształcenia, rezygnuje się ze względu na znaczenie dla typowych materiałów budowlanych. Element Kelvina-Voigta składa się tutaj z elementu sprężyny i elementu tłumika, które są połączone równolegle. Pokazano to schematycznie na poniższym rysunku:

Uogólniony model łańcucha Kelvina–Voigta

Całkowita funkcja pełzania łańcucha Kelvina wynika z sumowania udziałów elementów połączonych szeregowo. Opisuje ona zachowanie odkształceniowe w odniesieniu do działającego naprężenia w czasie. Elementy Kelvina-Voigta mają zatem dwie zmienne możliwe do dopasowania: sztywność E_k i tak zwany czas retardacji 𝜏_k. Ten z kolei wynika z lepkości dynamicznej podzielonej przez sztywność.

J (t) = \frac{ε (t)}{σ} = \frac{1}{E_{0}} + \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{E_{k}} (1 - e^{- \frac{t}{τ_{k}}}) + \frac{t}{η_{∞}}

ε	Odkształcenie
t	Czas
σ	Naprężenie
E0	Moduł sprężystości wolnej sprężyny (odkształcenie natychmiastowe)
k	Bieżący element
n	Liczba elementów
Ek	Moduł sprężystości bieżącego elementu
e	Liczba Eulera
τk=ηk/Ek	Czas retardacji bieżącego elementu
η∞	Lepkość dynamiczna swobodnego tłumika (przepływ newtonowski)

Uogólniony model Kelvina – odkształcenie całkowite

Dopasowanie do analitycznego zachowania pełzania

Dopasowanie elementów Kelvina-Voigta odbywa się za pomocą dopasowania poprzez minimalizację kwadratowej różnicy ich udziałów we współczynniku pełzania w porównaniu z rozwiązaniem analitycznym.

min_{α_{k}} \sum_{i = 1}^{m} {(φ (t_{i}) - φ_{∞} \sum_{k = 1}^{n} α_{k} (1 - e^{- t_{i} / τ_{k}}))}^{2}

αk	Współczynnik wagowy (Warunki dodatkowe: większy od 0 i jego suma musi wynosić 1)
i	Przyrosty czasu
m	Liczba przyrostów czasu
φ(ti)	Współczynnik pełzania w chwili i
φ∞	Współczynnik pełzania (nieskończoność)
k	Aktualny element
n	Liczba elementów
e	Liczba Eulera
ti	Czas w chwili i
τk=ηk/Ek	Czas opóźnienia bieżącego elementu

Dostosowanie szeregu Prony'ego dla liczby pełzania

Aby zobrazować to wizualnie, za pomocą skryptu przeprowadzono dopasowanie metodą najmniejszych kwadratów dla różnych liczb elementów łańcucha Kelvina. Poniższy rysunek pokazuje po lewej stronie porównanie łańcuchów Kelvina z 1, 3, 5 i 10 elementami z analityczną funkcją pełzania oraz punktami kontrolnymi pobranymi z RFEM 6. Jak widać, zwiększenie liczby elementów prowadzi również do zmniejszenia maksymalnego odchylenia. Wiąże się to oczywiście również ze zwiększonym nakładem obliczeniowym. Wystarczającą dokładność można było osiągnąć już przy 5 elementach Kelvina-Voigta bez specjalnego ważenia.

Współczynnik pełzania w czasie

Czasy retardacji można tutaj w uproszczeniu traktować jako moment, od którego dany element zaczyna wnosić wkład do zachowania pełzania. Poniższa tabela pokazuje to dla łańcucha Kelvina z 5 elementami w połączeniu z udziałami w końcowym współczynniku pełzania wynikającymi z udziałów poszczególnych elementów. Współczynnik pełzania można tutaj oszacować za pomocą następującego wzoru.

φ_{a p p} (t) = \sum_{k = 1}^{n} φ_{k} \cdot (1 - e^{- (t - t_{0}) / τ_{k}})

φ(app)	Przybliżona liczba pełzania w czasie t
φk	Współczynnik pełzania elementu k
k	Aktuelles Element
n	Liczba elementów
e	Liczba Eulera
ti	Aktualny czas
t0	Czas do rozpoczęcia obciążenia
τk=ηk/Ek	Czas retardacji bieżącego elementu

Przybliżony współczynnik pełzania

Czasy retardacji, sztywności i udziały we współczynniku pełzania łańcucha Kelvina z 5 elementami
Nr.	τ_k [d]	E_k [MPa]	φ_k [—]	Udział [%]
1	0,05	107 683	0,2879	8,7
2	0,77	101 086	0,3067	9,3
3	8,52	49 094	0,6314	19,1
4	86,83	24 862	1,2469	37,6
5	759,2	36 940	0,8392	25,3
Suma	—	—	3,3121	100,0

Obliczenia przyrostowe w czasie zachowania pełzania

Analizę zachowania pełzania w omawianym tutaj przykładzie przeprowadzono dzieląc na 10 liniowo rozłożonych przyrostów czasu. W ten sposób co 1823,5 dnia obliczany jest stan. W pierwszym kroku odkształcenie natychmiastowe określa się na 0,323. Po nim następuje pierwszy przyrost czasu od 28 dni (początek obciążenia) do dnia 1851,5. Poniższy rysunek pokazuje porównanie obliczeń przyrostowych za pomocą RFEM i rozwiązania analitycznego po lewej stronie. Na prawym wykresie, w nawiązaniu do poprzedniego rysunku, składowe odkształcenia dla łańcucha Kelvina z 5 elementami przedstawiono w formie skumulowanej.

KB 2071 | Krzywa odkształceń w czasie

W poniższej tabeli przedstawiono wyniki obliczeń przyrostowych w czasie. W nawiązaniu do uproszczonego liniowego podejścia do zachowania pełzania poprzez redukcję modułu sprężystości, w tym prostym przykładzie można również określić efektywny moduł sprężystości na każdy przyrost czasu. Tak więc w pierwszym kroku, ze względu na logarytmiczny charakter funkcji bazowej, uzyskano już redukcję o około 76%. Redukcja z końcowym współczynnikiem pełzania 3,349 prowadzi do redukcji o 77% do 7126 MPa.

E_{c, e f f, t} = \frac{σ}{ε (t)} = \frac{E_{c m}}{1 + φ (t, t_{0})}

Ec,eff,t	Efektywny moduł sprężystości betonu
Ecm	Średni moduł sprężystości betonu
φ(t,t0)	Współczynnik pełzania w czasie t, odniesiony do czasu początkowego

Efektywny moduł sprężystości

Odkształcenie w czasie
Krok	t [d]	Δt [d]	ε [‰]	Δε [‰]	E_eff [MPa]	ΔE_eff [MPa]
0	28.0	0.0	0.323	0.000	30999	0
1	1851.5	1823.5	1.356	1.034	7373	-23626
2	3674.9	1823.4	1.381	0.025	7241	-132
3	5498.4	1823.5	1.391	0.010	7190	-51
4	7321.8	1823.4	1.396	0.005	7166	-24
5	9145.3	1823.5	1.398	0.002	7154	-12
6	10968.7	1823.4	1.399	0.001	7146	-8
7	12792.1	1823.4	1.400	0.001	7142	-4
8	14615.6	1823.5	1.401	0.001	7138	-4
9	16439.0	1823.4	1.402	0.001	7134	-3
10	18262.5	1823.5	1.402	0.001	7131	-3

Uwagi końcowe

W tym uproszczonym przykładzie obliczenia przyrostowe w czasie z podejściem liniowego pełzania poprzez redukcję modułu sprężystości nie wykazują różnicy. Nie można tego jednak zakładać ogólnie. Na przykład, tylko przy bezpośrednim uwzględnieniu przyrostowym za pomocą podejścia modelu reologicznego można poprawnie uwzględnić nieliniowe zachowanie materiału i interakcję elementów, a także zmienne stany obciążenia i etapy budowy.

Autor

Marc pracuje w dziale inżynierii produktów ze specjalizacją w geotechnice, a dodatkowo wspiera dział obsługi klienta. Swoją wiedzę fachową wykorzystuje w sposób ukierunkowany w złożonych zagadnieniach.

Odnośniki

;