RFEM различает \(M_{t,pri}\) (первичный крутящий момент Сен-Венана) и \(M_{t,sec}\) (вторичный крутящий момент). \(M_{t,sec}\) объединяет два физически различных компонента: крутящий момент от депланации при кручении \(M_{t,sec,\omega}\) и компонент, вызванный нормальной силой \(M_{t,sec,N}\). Оба компонента \(M_{t,sec}\) учитываются только при активированном адд-оне «Депланация при кручении» (7-я степень свободы).
$$\Sigma M_x = M_{t,pri} + \underbrace{M_{t,sec,\omega} + M_{t,sec,N}}_{M_{t,sec}} \qquad (1)$$
Здесь \(\Sigma M_x\) — суммарный крутящий момент относительно продольной оси стержня x.
\(M_{t,pri}\): первичный крутящий момент
$$M_{t,pri} = G\,I_T\,\vartheta^{\prime} \qquad (2)$$
где
- \(G\): модуль сдвига
- \(I_T\): постоянная кручения стержня (сопротивление кручению Сен-Венана)
- \(\vartheta^{\prime}\): закрутка, то есть производная поворота \(\vartheta\) по продольной оси стержня x. Штрихи далее всегда обозначают производные по x.
\(M_{t,pri}\) — это часть крутящего момента, которую сечение воспринимает исключительно за счет своей закрутки \(\vartheta^{\prime}\) (поворот на единицу длины). Она пропорциональна закрутке, коэффициентом пропорциональности является жесткость на кручение \(G\,I_T\).
\(M_{t,pri}\) возникает при любом расчете, в том числе при линейном статическом расчете. У сечений, свободных от депланации (секторный момент инерции \(I_\omega = 0\)), депланационный бимомент \(M_\omega\) не возникает и, следовательно, отсутствует депланация при кручении. Без нормальной силы \(M_{t,pri}\) является тогда единственным крутящим моментом.
\(M_{t,sec}\): вторичный крутящий момент Компонент 1: депланация при кручении \(M_{t,sec,\omega}\)
$$M_\omega = -E\,I_\omega\,\vartheta^{\prime\prime} \qquad M_{t,sec,\omega} = M_\omega^{\prime} = -E\,I_\omega\,\vartheta^{\prime\prime\prime} \qquad (3\text{a,b})$$
где
- \(M_\omega\): депланационный бимомент
- \(E\): модуль упругости
- \(I_\omega\): секторный момент сопротивления (константа депланации 2-го порядка)
\(M_{t,sec,\omega}\) — это крутящий момент, возникающий вследствие стеснения депланации, то есть производная депланационного бимомента \(M_\omega\).
В качестве примера служит двутавр, защемленный с одной стороны, депланация которого у защемления затруднена. На свободном конце действует крутящий момент 10 кНм. Нормальная сила отсутствует, поэтому компонент \(M_{t,sec,N}\) не учитывается, и \(M_{t,sec}\) здесь соответствует только депланации при кручении \(M_{t,sec,\omega}\).
Графики показывают, как кручение распределяется вдоль стержня между обоими механизмами работы:
- У защемления сечение не может депланировать. Следовательно, оно не может там и закручиваться (\(\vartheta^{\prime} = 0\)), и \(M_{t,pri} = G\,I_T\,\vartheta^{\prime}\) падает до 0. Весь крутящий момент воспринимается депланацией при кручении: \(M_{t,sec} = 10\) кНм. Механически обе полки при этом изгибаются в противоположных направлениях в своей плоскости (поперечно, вокруг оси z профиля). Поперечные силы в обеих полках направлены противоположно и образуют пару сил. Плечо рычага равно расстоянию между средними линиями полок. Эта пара сил уравновешивает крутящий момент. Здесь же депланационный бимомент максимален (\(M_\omega = 15{,}70\) кНм²).
- С увеличением расстояния от защемления стеснение депланации уменьшается. Сечение все больше может закручиваться, и кручение Сен-Венана воспринимает большую часть.
- На свободном конце сечение может депланировать свободно, поэтому депланационный бимомент там \(M_\omega = 0\). Тем не менее \(M_{t,sec}\) там не равен нулю, а составляет 0,84 кНм.
Причина: в этом примере нормальная сила отсутствует, поэтому \(M_{t,sec}\) состоит исключительно из депланации при кручении \(M_{t,sec,\omega}\). Этот компонент соответствует производной депланационного бимомента вдоль оси стержня, а не значению \(M_\omega\) самого по себе. На свободном конце \(M_\omega\) хотя и равен нулю, но все еще изменяется, поэтому \(M_{t,sec}\) не равен нулю. Балка слишком короткая, чтобы депланация при кручении могла полностью затухнуть к свободному концу.
В каждой точке балки выполняется равновесие \(M_{t,pri} + M_{t,sec} = 10\) кНм, например, на свободном конце \(9{,}16 + 0{,}84 = 10{,}00\) кНм.
Следующие изображения показывают графики. Модель «Mt_sec_omega» для воспроизведения прилагается.
Компонент 2: крутящий момент, вызванный нормальной силой \(M_{t,sec,N}\)
Если на закрученный стержень действует нормальная сила, возникает дополнительный компонент крутящего момента \(M_{t,sec,N}\). Он учитывается только при расчете по анализу второго порядка и с активированным адд-оном «Депланация при кручении»:
$$M_{t,sec,N} = N\,i_M^2\,\vartheta^{\prime} \qquad (4) \qquad \text{(N положительна как растягивающая сила)}$$
где
- \(N\): нормальная сила
- \(i_M\): полярный радиус инерции относительно центра изгиба, с \(i_M^2 = i_p^2 + y_M^2 + z_M^2\)
- \(i_p\): полярный радиус инерции относительно центра тяжести, с \(i_p^2 = (I_y + I_z)/A\)
- \(y_M\), \(z_M\): координаты центра изгиба относительно центра тяжести
- \(I_y\), \(I_z\), \(A\): моменты инерции сечения и площадь сечения
У двойносимметричных сечений центр изгиба совпадает с центром тяжести, тогда \(i_M^2 = i_p^2\).
Растягивающая сила действует укрепляюще и уменьшает закрутку, сжимающая сила ее увеличивает. Эффект соответствует изгибу сжатием, при котором прогиб с ростом сжимающей силы возрастает непропорционально. Решающим является отношение \(N\,i_M^2\) к \(G\,I_T\). У открытых профилей \(G\,I_T\) мало, поэтому пренебрежение \(M_{t,sec,N}\) в зависимости от нагрузки быстро становится недопустимым. Поскольку нормальная сила и кручение в пространственных несущих конструкциях часто возникают совместно, это практически значимо. У замкнутых сечений, наоборот, \(G\,I_T\) настолько велико, что \(M_{t,sec,N}\) во многих случаях можно пренебречь.
Примечание к интерпретации результатов: сжимающая сила усиливает кручение. Вследствие закрутки продольные волокна располагаются наклонно, и сжимающая сила создает в этих волокнах дополнительный крутящий момент в направлении вращения. Поэтому кручение Сен-Венана должно воспринимать больше приложенного крутящего момента, \(M_{t,pri}\) становится больше внешнего крутящего момента. Поскольку и с нормальной силой действует равновесие \(M_{t,pri} + M_{t,sec}\) = внешний крутящий момент, этот эффект отображается в результатах как отрицательный компонент \(M_{t,sec,N}\). При растяжении наоборот: \(M_{t,sec,N}\) положителен, растягивающая сила воспринимает часть крутящего момента, и \(M_{t,pri}\) становится меньше.
Следующие изображения показывают этот эффект. Его также можно воспроизвести в приложенном файле «Mt_sec_N».
Модели для скачивания
Обе модели, использованные в этой статье, доступны здесь для воспроизведения:
