RFEM unterscheidet \(M_{t,pri}\) (primäres, St.-Venantsches Torsionsmoment) und \(M_{t,sec}\) (sekundäres Torsionsmoment). \(M_{t,sec}\) fasst zwei physikalisch verschiedene Anteile zusammen: das Torsionsmoment aus der Wölbkrafttorsion \(M_{t,sec,\omega}\) und den normalkraftinduzierten Anteil \(M_{t,sec,N}\). Beide Anteile von \(M_{t,sec}\) werden nur berücksichtigt, wenn das Add-On Wölbkrafttorsion (7. Freiheitsgrad) aktiviert wurde.
$$\Sigma M_x = M_{t,pri} + \underbrace{M_{t,sec,\omega} + M_{t,sec,N}}_{M_{t,sec}} \qquad (1)$$
Dabei ist \(\Sigma M_x\) das gesamte Torsionsmoment um die Stablängsachse x.
\(M_{t,pri}\): primäres Torsionsmoment
$$M_{t,pri} = G\,I_T\,\vartheta^{\prime} \qquad (2)$$
mit
- \(G\): Schubmodul
- \(I_T\): Torsionsträgheitsmoment (St.-Venantscher Torsionswiderstand)
- \(\vartheta^{\prime}\): Verdrillung, d. h. die Ableitung der Verdrehung \(\vartheta\) nach der Stablängsachse x. Striche bezeichnen im Folgenden immer Ableitungen nach x.
\(M_{t,pri}\) ist der Anteil des Torsionsmoments, den der Querschnitt allein über seine Verdrillung \(\vartheta^{\prime}\) (Verdrehung je Längeneinheit) abträgt. Es ist proportional zur Verdrillung, der Proportionalitätsfaktor ist die Torsionssteifigkeit \(G\,I_T\).
\(M_{t,pri}\) tritt in jeder Berechnung auf, auch nach Theorie I. Ordnung. Bei wölbfreien Querschnitten (Wölbwiderstand \(I_\omega = 0\)) entsteht kein Wölbbimoment \(M_\omega\) und folglich auch keine Wölbkrafttorsion. Ohne Normalkraft ist \(M_{t,pri}\) dann das einzige Torsionsmoment.
\(M_{t,sec}\): sekundäres Torsionsmoment
Anteil 1: Wölbkrafttorsion \(M_{t,sec,\omega}\)
$$M_\omega = -E\,I_\omega\,\vartheta^{\prime\prime} \qquad M_{t,sec,\omega} = M_\omega^{\prime} = -E\,I_\omega\,\vartheta^{\prime\prime\prime} \qquad (3\text{a,b})$$
mit
- \(M_\omega\): Wölbbimoment
- \(E\): Elastizitätsmodul
- \(I_\omega\): Wölbwiderstand (Wölbflächenmoment 2. Grades)
\(M_{t,sec,\omega}\) ist das Torsionsmoment aus der Behinderung der Verwölbung, die Ableitung des Wölbbimoments \(M_\omega\).
Als Beispiel dient ein einseitig eingespanntes I-Profil, dessen Verwölbung an der Einspannung behindert ist. Am freien Ende wirkt ein Torsionsmoment von 10 kNm. Es gibt keine Normalkraft, daher entfällt der Anteil \(M_{t,sec,N}\), und \(M_{t,sec}\) entspricht hier allein der Wölbkrafttorsion \(M_{t,sec,\omega}\).
Die Verläufe zeigen, wie sich die Torsion entlang des Stabes auf beide Tragmechanismen aufteilt:
- An der Einspannung kann sich der Querschnitt nicht verwölben. Damit kann er sich dort auch nicht verdrillen (\(\vartheta^{\prime} = 0\)), und \(M_{t,pri} = G\,I_T\,\vartheta^{\prime}\) fällt auf 0. Das gesamte Torsionsmoment wird über Wölbkrafttorsion abgetragen: \(M_{t,sec} = 10\) kNm. Mechanisch biegen sich die beiden Gurte dabei gegensinnig in ihrer eigenen Ebene (seitlich, um die z-Achse des Profils). Die Querkräfte in den beiden Gurten sind entgegengesetzt gerichtet und bilden ein Kräftepaar. Der Hebelarm ist der Abstand zwischen den Gurtmittellinien. Dieses Kräftepaar hält dem Torsionsmoment das Gleichgewicht. Hier wird auch das Wölbbimoment maximal (\(M_\omega = 15{,}70\) kNm²).
- Mit zunehmendem Abstand von der Einspannung klingt die Wölbbehinderung ab. Der Querschnitt kann sich zunehmend verdrillen, und die St.-Venant-Torsion übernimmt den Großteil.
- Am freien Ende kann sich der Querschnitt frei verwölben, daher ist das Wölbbimoment dort \(M_\omega = 0\). \(M_{t,sec}\) ist dort trotzdem nicht null, sondern 0,84 kNm.
Der Grund: In diesem Beispiel wirkt keine Normalkraft, daher besteht \(M_{t,sec}\) allein aus der Wölbkrafttorsion \(M_{t,sec,\omega}\). Dieser Anteil entspricht der Ableitung des Wölbbimoments entlang der Stabachse und nicht dem Wert von \(M_\omega\) selbst. Am freien Ende ist \(M_\omega\) zwar null, ändert sich dort aber noch, daher ist \(M_{t,sec}\) ungleich null. Der Träger ist zu kurz, als dass die Wölbkrafttorsion bis zum freien Ende vollständig abklingen könnte.
An jeder Stelle des Trägers gilt das Gleichgewicht \(M_{t,pri} + M_{t,sec} = 10\) kNm, am freien Ende zum Beispiel \(9{,}16 + 0{,}84 = 10{,}00\) kNm.
Die folgenden Bilder zeigen die Verläufe. Das Modell „Mt_sec_omega“ zum Nachvollziehen ist im Anhang beigefügt.
Anteil 2: normalkraftinduziertes Torsionsmoment \(M_{t,sec,N}\)
Wirkt auf einen verdrillten Stab eine Normalkraft, entsteht ein zusätzlicher Torsionsmomentenanteil \(M_{t,sec,N}\). Er wird nur bei Berechnung nach Theorie II. Ordnung und mit aktiviertem Add-On Wölbkrafttorsion berücksichtigt:
$$M_{t,sec,N} = N\,i_M^2\,\vartheta^{\prime} \qquad (4) \qquad \text{(N als Zugkraft positiv)}$$
mit
- \(N\): Normalkraft
- \(i_M\): polarer Trägheitsradius bezogen auf den Schubmittelpunkt, mit \(i_M^2 = i_p^2 + y_M^2 + z_M^2\)
- \(i_p\): polarer Trägheitsradius bezogen auf den Schwerpunkt, mit \(i_p^2 = (I_y + I_z)/A\)
- \(y_M\), \(z_M\): Koordinaten des Schubmittelpunkts bezogen auf den Schwerpunkt
- \(I_y\), \(I_z\), \(A\): Flächenträgheitsmomente und Querschnittsfläche
Bei doppeltsymmetrischen Querschnitten fallen Schubmittelpunkt und Schwerpunkt zusammen, dann gilt \(i_M^2 = i_p^2\).
Eine Zugkraft wirkt versteifend und verringert die Verdrillung, eine Druckkraft vergrößert sie. Der Effekt entspricht der Druckbiegung, bei der die Durchbiegung mit zunehmender Druckkraft überproportional anwächst. Entscheidend ist das Verhältnis \(N\,i_M^2\) zu \(G\,I_T\). Bei offenen Profilen ist \(G\,I_T\) klein, deshalb wird die Vernachlässigung von \(M_{t,sec,N}\) dort je nach Belastung schnell unzulässig. Da Normalkraft und Torsion in räumlichen Tragwerken häufig gemeinsam auftreten, ist das praxisrelevant. Bei geschlossenen Querschnitten ist \(G\,I_T\) dagegen so groß, dass \(M_{t,sec,N}\) in vielen Fällen vernachlässigt werden kann.
Hinweis zur Ergebnisinterpretation: Eine Druckkraft verstärkt die Torsion. Durch die Verdrillung stellen sich die Längsfasern schräg, und die Druckkraft erzeugt in diesen Fasern ein zusätzliches Torsionsmoment in Drehrichtung. Die St.-Venant-Torsion muss daher mehr als das aufgebrachte Torsionsmoment abtragen, \(M_{t,pri}\) wird größer als das äußere Torsionsmoment. Da auch mit Normalkraft das Gleichgewicht \(M_{t,pri} + M_{t,sec}\) = äußeres Torsionsmoment gilt, erscheint dieser Effekt in den Ergebnissen als negativer Anteil \(M_{t,sec,N}\). Bei Zug ist es umgekehrt: \(M_{t,sec,N}\) ist positiv, die Zugkraft trägt einen Teil des Torsionsmoments mit, und \(M_{t,pri}\) wird kleiner.
Die folgenden Bilder zeigen diesen Effekt. Er kann auch in der angehängten Datei „Mt_sec_N“ nachvollzogen werden.
Modelle zum Download
Die beiden in diesem Beitrag verwendeten Modelle stehen hier zum Nachvollziehen zur Verfügung:
