RFEM distingue \(M_{t,pri}\) (momento torcente primario, di Saint-Venant) e \(M_{t,sec}\) (momento torcente secondario). \(M_{t,sec}\) raggruppa due contributi fisicamente diversi: il momento torcente dovuto all'instabilità flessionale-torsionale \(M_{t,sec,\omega}\) e il contributo indotto dalla forza assiale \(M_{t,sec,N}\). Entrambi i contributi di \(M_{t,sec}\) vengono considerati solo se il modulo Instabilità flessionale-torsionale (7° grado di libertà) è stato attivato.
$$\Sigma M_x = M_{t,pri} + \underbrace{M_{t,sec,\omega} + M_{t,sec,N}}_{M_{t,sec}} \qquad (1)$$
Dove \(\Sigma M_x\) è il momento torcente totale attorno all'asse longitudinale x dell'asta.
\(M_{t,pri}\): momento torcente primario
$$M_{t,pri} = G\,I_T\,\vartheta^{\prime} \qquad (2)$$
con
- \(G\): modulo di taglio
- \(I_T\): costante torsionale dell'asta (resistenza torsionale di Saint-Venant)
- \(\vartheta^{\prime}\): rotazione specifica, ovvero la derivata della rotazione \(\vartheta\) rispetto all'asse longitudinale x dell'asta. Nel seguito, gli apostrofi indicano sempre derivate rispetto a x.
\(M_{t,pri}\) è la parte del momento torcente che la sezione assorbe esclusivamente tramite la sua rotazione specifica \(\vartheta^{\prime}\) (rotazione per unità di lunghezza). È proporzionale alla rotazione specifica; il fattore di proporzionalità è la rigidezza torsionale \(G\,I_T\).
\(M_{t,pri}\) compare in ogni calcolo, anche con l'analisi statica lineare. Per sezioni prive di warping (resistenza al warping \(I_\omega = 0\)) non si genera alcun bimomento di warping \(M_\omega\) e di conseguenza nemmeno un'instabilità flessionale-torsionale. Senza forza assiale, \(M_{t,pri}\) è quindi l'unico momento torcente.
\(M_{t,sec}\): momento torcente secondario Contributo 1: instabilità flessionale-torsionale \(M_{t,sec,\omega}\)
$$M_\omega = -E\,I_\omega\,\vartheta^{\prime\prime} \qquad M_{t,sec,\omega} = M_\omega^{\prime} = -E\,I_\omega\,\vartheta^{\prime\prime\prime} \qquad (3\text{a,b})$$
con
- \(M_\omega\): bimomento di warping
- \(E\): modulo di elasticità
- \(I_\omega\): resistenza al warping (momento di inerzia del warping di secondo grado)
\(M_{t,sec,\omega}\) è il momento torcente dovuto all'impedimento del warping, cioè la derivata del bimomento di warping \(M_\omega\).
Come esempio si considera una sezione a I vincolata da un lato, il cui warping è impedito al vincolo. All'estremità libera agisce un momento torcente di 10 kNm. Non vi è forza assiale, quindi il contributo \(M_{t,sec,N}\) non è presente e \(M_{t,sec}\) corrisponde in questo caso esclusivamente all'instabilità flessionale-torsionale \(M_{t,sec,\omega}\).
Gli andamenti mostrano come la torsione si ripartisce lungo l'asta tra i due meccanismi portanti:
- Al vincolo la sezione non può deformarsi per warping. Di conseguenza non può nemmeno ruotare in modo torsionale (\(\vartheta^{\prime} = 0\)) e \(M_{t,pri} = G\,I_T\,\vartheta^{\prime}\) si annulla. L'intero momento torcente è assorbito dall'instabilità flessionale-torsionale: \(M_{t,sec} = 10\) kNm. Dal punto di vista meccanico, le due correnti si flettono in sensi opposti nel proprio piano (lateralmente, attorno all'asse z della sezione). Le forze di taglio nelle due correnti sono dirette in senso opposto e formano una coppia di forze. Il braccio di leva è la distanza tra le linee mediane delle correnti. Questa coppia di forze equilibra il momento torcente. In questo punto anche il bimomento di warping è massimo (\(M_\omega = 15{,}70\) kNm²).
- Con l'aumentare della distanza dal vincolo l'impedimento del warping si attenua. La sezione può ruotare sempre più e la torsione di Saint-Venant assorbe la maggior parte del momento.
- All'estremità libera la sezione può deformarsi liberamente per warping, quindi il bimomento di warping è ivi \(M_\omega = 0\). \(M_{t,sec}\) non è tuttavia nullo in quel punto, ma pari a 0,84 kNm.
Il motivo: in questo esempio non agisce alcuna forza assiale, quindi \(M_{t,sec}\) è costituito esclusivamente dall'instabilità flessionale-torsionale \(M_{t,sec,\omega}\). Questo contributo corrisponde alla derivata del bimomento di warping lungo l'asse dell'asta e non al valore di \(M_\omega\) stesso. All'estremità libera \(M_\omega\) è certamente nullo, ma lì varia ancora, quindi \(M_{t,sec}\) è diverso da zero. La trave è troppo corta perché l'instabilità flessionale-torsionale possa attenuarsi completamente fino all'estremità libera.
In ogni punto della trave vale l'equilibrio \(M_{t,pri} + M_{t,sec} = 10\) kNm, ad esempio all'estremità libera \(9{,}16 + 0{,}84 = 10{,}00\) kNm.
Le seguenti immagini mostrano gli andamenti. Il modello „Mt_sec_omega" per la verifica è allegato.
Contributo 2: momento torcente indotto dalla forza assiale \(M_{t,sec,N}\)
Se su un'asta ruotata agisce una forza assiale, si genera un contributo aggiuntivo del momento torcente \(M_{t,sec,N}\). Esso viene considerato solo nel calcolo secondo l'analisi del secondo ordine e con il modulo Instabilità flessionale-torsionale attivato:
$$M_{t,sec,N} = N\,i_M^2\,\vartheta^{\prime} \qquad (4) \qquad \text{(N positivo come forza di trazione)}$$
con
- \(N\): forza assiale
- \(i_M\): raggio di inerzia polare riferito al centro di taglio, con \(i_M^2 = i_p^2 + y_M^2 + z_M^2\)
- \(i_p\): raggio di inerzia polare riferito al centro di gravità, con \(i_p^2 = (I_y + I_z)/A\)
- \(y_M\), \(z_M\): coordinate del centro di taglio riferite al centro di gravità
- \(I_y\), \(I_z\), \(A\): momenti di inerzia e area della sezione
Per sezioni doppiamente simmetriche il centro di taglio coincide con il centro di gravità; in tal caso vale \(i_M^2 = i_p^2\).
Una forza di trazione ha un effetto irrigidente e riduce la rotazione, mentre una forza di compressione la aumenta. L'effetto corrisponde alla flessione di compressione, in cui l'inflessione cresce in modo sovraproporzionale all'aumentare della forza di compressione. Determinante è il rapporto tra \(N\,i_M^2\) e \(G\,I_T\). Per le sezioni aperte \(G\,I_T\) è piccolo, quindi la trascurazione di \(M_{t,sec,N}\) diventa lì, a seconda del carico, rapidamente inammissibile. Poiché forza assiale e torsione compaiono spesso insieme nelle strutture spaziali, ciò è rilevante in pratica. Per le sezioni chiuse invece \(G\,I_T\) è così grande che \(M_{t,sec,N}\) può essere trascurato in molti casi.
Nota sull'interpretazione dei risultati: una forza di compressione intensifica la torsione. A causa della rotazione le fibre longitudinali si dispongono inclinate e la forza di compressione genera in queste fibre un momento torcente aggiuntivo nel senso di rotazione. La torsione di Saint-Venant deve quindi assorbire più del momento torcente applicato; \(M_{t,pri}\) diventa maggiore del momento torcente esterno. Poiché vale anche con la forza assiale l'equilibrio \(M_{t,pri} + M_{t,sec}\) = momento torcente esterno, questo effetto appare nei risultati come contributo negativo \(M_{t,sec,N}\). In caso di trazione è il contrario: \(M_{t,sec,N}\) è positivo, la forza di trazione contribuisce ad assorbire parte del momento torcente e \(M_{t,pri}\) diventa più piccolo.
Le seguenti immagini mostrano questo effetto. Esso può essere verificato anche nel file allegato „Mt_sec_N".
Modelli da scaricare
I due modelli utilizzati in questo articolo sono disponibili qui per la verifica:
