RFEM distingue \(M_{t,pri}\) (moment de torsion primaire, de Saint-Venant) et \(M_{t,sec}\) (moment de torsion secondaire). \(M_{t,sec}\) regroupe deux composantes physiquement distinctes : le moment de torsion issu du gauchissement par torsion \(M_{t,sec,\omega}\) et la composante induite par l'effort normal \(M_{t,sec,N}\). Les deux composantes de \(M_{t,sec}\) sont prises en compte seulement si le module complémentaire Flambement par flexion-torsion (7 degré de liberté) est activé.
$$\Sigma M_x = M_{t,pri} + \underbrace{M_{t,sec,\omega} + M_{t,sec,N}}_{M_{t,sec}} \qquad (1)$$
Où \(\Sigma M_x\) est le moment de torsion total autour de l’axe longitudinal de la barre x.
\(M_{t,pri}\) : moment de torsion primaire
$$M_{t,pri} = G\,I_T\,\vartheta^{\prime} \qquad (2)$$
avec
- \(G\) : module de cisaillement
- \(I_T\) : inertie de torsion (rigidité en torsion de Saint-Venant)
- \(\vartheta^{\prime}\) : torsion, c’est-à-dire la dérivée de la rotation \(\vartheta\) par rapport à l’axe longitudinal de la barre x. Ci-après, les primes désignent toujours des dérivées par rapport à x.
\(M_{t,pri}\) est la composante du moment de torsion que la section reprend uniquement par sa torsion \(\vartheta^{\prime}\) (rotation par unité de longueur). Elle est proportionnelle à la torsion, le coefficient de proportionnalité étant la rigidité en torsion \(G\,I_T\).
\(M_{t,pri}\) apparaît dans chaque calcul, également dans le cadre d’une analyse statique linéaire. Pour les sections sans gauchissement (résistance au gauchissement \(I_\omega = 0\)), aucun bimoment de gauchissement \(M_\omega\) ne se forme et, par conséquent, pas de gauchissement par torsion non plus. Sans effort normal, \(M_{t,pri}\) est alors le seul moment de torsion.
\(M_{t,sec}\) : moment de torsion secondaire
Composante 1 : gauchissement par torsion \(M_{t,sec,\omega}\)
$$M_\omega = -E\,I_\omega\,\vartheta^{\prime\prime} \qquad M_{t,sec,\omega} = M_\omega^{\prime} = -E\,I_\omega\,\vartheta^{\prime\prime\prime} \qquad (3\text{a,b})$$
avec
- \(M_\omega\) : bimoment de gauchissement
- \(E\) : modules d’élasticité
- \(I_\omega\) : résistance au gauchissement (moment d’inertie de gauchissement du second degré)
\(M_{t,sec,\omega}\) est le moment de torsion résultant de l’empêchement du gauchissement, c’est-à-dire la dérivée du bimoment de gauchissement \(M_\omega\).
À titre d’exemple, prenons une section en I encastrée d’un seul côté, dont le gauchissement est empêché au niveau de l’encastrement. À l’extrémité libre, un moment de torsion de 10 kNm agit. Il n’y a pas d'effort normal, la composante \(M_{t,sec,N}\) n'intervient donc pas et \(M_{t,sec}\) correspond ici uniquement au gauchissement par torsion \(M_{t,sec,\omega}\).
Les diagrammes montrent comment la torsion se distribue le long de la barre entre les deux mécanismes de portance :
- Au niveau de l’encastrement, la section ne peut pas entrer en gauchissement. Elle ne peut donc pas non plus se tordre (\(\vartheta^{\prime} = 0\)), et \(M_{t,pri} = G\,I_T\,\vartheta^{\prime}\) tombe à 0. Le moment de torsion total est repris par le gauchissement par torsion : \(M_{t,sec} = 10\) kNm. Mécaniquement, les deux membrures fléchissent alors en sens opposés dans leur propre plan (latéralement, autour de l’axe z du profil). Les efforts tranchants dans les deux membrures sont orientés en sens opposés et forment une paire de forces. Le bras de levier est la distance entre les lignes médianes des membrures. Cette paire de forces équilibre le moment de torsion. C'est également là que le bimoment de gauchissement est maximal (\(M_\omega = 15{,}70\) kNm²).
- Avec l’augmentation de la distance à l’encastrement, l’empêchement du gauchissement diminue. La section peut de plus en plus se tordre, et la torsion de Saint-Venant en reprend la majeure partie.
- À l’extrémité libre, la section peut gauchir librement, le bimoment de gauchissement y est donc \(M_\omega = 0\). \(M_{t,sec}\) n’y est toutefois pas nul, mais de 0,84 kNm.
La raison : dans cet exemple, aucun effort normal n’agit, \(M_{t,sec}\) se compose donc uniquement du gauchissement par torsion \(M_{t,sec,\omega}\). Cette composante correspond à la dérivée du bimoment de gauchissement le long de l'axe de barre et non à la valeur de \(M_\omega\) elle-même. À l’extrémité libre, \(M_\omega\) est bien nul, mais il y varie encore, c’est pourquoi \(M_{t,sec}\) est différent de zéro. La poutre est trop courte pour que le gauchissement par torsion puisse s’atténuer complètement jusqu’à l’extrémité libre.
À chaque endroit de la poutre s’applique l'équilibre \(M_{t,pri} + M_{t,sec} = 10\) kNm, à l’extrémité libre par exemple \(9{,}16 + 0{,}84 = 10{,}00\) kNm.
Les images suivantes montrent les diagrammes. Le modèle « Mt_sec_omega » permettant de suivre le calcul est joint en annexe.
Composante 2 : moment de torsion induit par l'effort normal \(M_{t,sec,N}\)
Si un effort normal agit sur une barre en torsion, une composante de moment de torsion supplémentaire \(M_{t,sec,N}\) apparaît. Elle n’est prise en compte que pour une analyse du second ordre et avec le module complémentaire Flambement par flexion-torsion activé :
$$M_{t,sec,N} = N\,i_M^2\,\vartheta^{\prime} \qquad (4) \qquad \text{(N positif en tant qu’effort de traction)}$$
avec
- \(N\) : effort normal
- \(i_M\) : rayon de giration polaire par rapport au centre de cisaillement, avec \(i_M^2 = i_p^2 + y_M^2 + z_M^2\)
- \(i_p\) : rayon de giration polaire par rapport au centre de gravité, avec \(i_p^2 = (I_y + I_z)/A\)
- \(y_M\), \(z_M\) : coordonnées du centre de cisaillement par rapport au centre de gravité
- \(I_y\), \(I_z\), \(A\) : moments d’inertie et aire de section
Pour les sections doublement symétrique, le centre de cisaillement et le centre de gravité coïncident, on a alors \(i_M^2 = i_p^2\).
Un effort de traction a un effet de raidissement et réduit la torsion, un effort de compression l'augmente. L'effet correspond à la flexion en compression, où flèche augmentant alors de manière disproportionnée avec l’effort de compression. Le rapport entre \(N\,i_M^2\) et \(G\,I_T\) est déterminant. Pour les sections ouvertes, \(G\,I_T\) est faible, c’est pourquoi la négligence de \(M_{t,sec,N}\) y devient rapidement inadmissible selon la charge. Comme l’effort normal et la torsion apparaissent souvent ensemble dans les structures spatiales, cela a une importance pratique. Pour les sections fermées, en revanche, \(G\,I_T\) est si grand que \(M_{t,sec,N}\) peut être négligé dans de nombreux cas.
Remarque concernant l’interprétation des résultats : un effort de compression amplifie la torsion. En raison de la torsion, les fibres longitudinales s’inclinent, et l’effort de compression génère dans ces fibres un moment de torsion supplémentaire dans le sens de rotation. La torsion de Saint-Venant doit donc reprendre davantage que le moment de torsion appliqué, \(M_{t,pri}\) devient supérieur au moment de torsion extérieur. Comme l'équilibre \(M_{t,pri} + M_{t,sec}\) = moment de torsion extérieur s’applique également avec un effort normal, cet effet apparaît dans les résultats comme une composante négative \(M_{t,sec,N}\). En traction, c'est l'inverse : \(M_{t,sec,N}\) est positif, l'effort de traction reprend une partie du moment de torsion, et \(M_{t,pri}\) devient plus petit.
Les images suivantes montrent cet effet. Il peut également être suivi dans le fichier joint « Mt_sec_N ».
Modèles à télécharger
Les deux modèles présentés dans cet article sont disponibles au téléchargement :
