RFEM rozlišuje \(M_{t,pri}\) (primární, Sv. Venantovo krouticí moment) a \(M_{t,sec}\) (sekundární krouticí moment). \(M_{t,sec}\) zahrnuje dvě fyzikálně odlišné složky: krouticí moment z vázaného kroucení \(M_{t,sec,\omega}\) a osovou silou vyvolanou složku \(M_{t,sec,N}\). Obě složky \(M_{t,sec}\) se zohledňují pouze tehdy, když byl aktivován doplněk Vázané kroucení (7. stupeň volnosti).
$$\Sigma M_x = M_{t,pri} + \underbrace{M_{t,sec,\omega} + M_{t,sec,N}}_{M_{t,sec}} \qquad (1)$$
Přitom \(\Sigma M_x\) je celkový krouticí moment kolem podélné osy prutu x.
\(M_{t,pri}\): primární krouticí moment
$$M_{t,pri} = G\,I_T\,\vartheta^{\prime} \qquad (2)$$
kde
- \(G\): smykový modul
- \(I_T\): moment tuhosti v prostém kroucení (Sv. Venantův torzní odpor)
- \(\vartheta^{\prime}\): zkroucení, tj. derivace pootočení \(\vartheta\) podle podélné osy prutu x. Čárky v dalším textu vždy označují derivace podle x.
\(M_{t,pri}\) je složka krouticího momentu, kterou průřez přenáší pouze prostřednictvím svého zkroucení \(\vartheta^{\prime}\) (pootočení na jednotku délky). Je úměrný zkroucení, přičemž faktorem úměrnosti je tuhost v kroucení \(G\,I_T\).
\(M_{t,pri}\) se objevuje v každém výpočtu, a to i podle teorie prvního řádu. U průřezů bez Deformace příčného profilu (warping) (odpor vůči deformaci příčného profilu \(I_\omega = 0\)) nevzniká žádný bimoment \(M_\omega\) a tím ani vázané kroucení. Bez osové síly je pak \(M_{t,pri}\) jediným krouticím momentem.
\(M_{t,sec}\): sekundární krouticí moment Složka 1: vázané kroucení \(M_{t,sec,\omega}\)
$$M_\omega = -E\,I_\omega\,\vartheta^{\prime\prime} \qquad M_{t,sec,\omega} = M_\omega^{\prime} = -E\,I_\omega\,\vartheta^{\prime\prime\prime} \qquad (3\text{a,b})$$
kde
- \(M_\omega\): bimoment
- \(E\): modul pružnosti
- \(I_\omega\): odpor vůči deformaci příčného profilu (warping) (sekundární moment souřadnic plochy)
\(M_{t,sec,\omega}\) je krouticí moment z zabránění deformace příčného profilu (warping), derivace bimomentu \(M_\omega\).
Jako příklad slouží na jedné straně vetknutý I-profil, jehož deformace příčného profilu (warping) je ve vetknutí zabráněna. Na volném konci působí krouticí moment 10 kNm. Neexistuje žádná osová síla, proto složka \(M_{t,sec,N}\) odpadá a \(M_{t,sec}\) zde odpovídá pouze vázanému kroucení \(M_{t,sec,\omega}\).
Průběhy ukazují, jak se kroucení podél prutu rozděluje na oba mechanismy přenášení zatížení:
- Ve vetknutí se průřez nemůže deformovat (warping). Nemůže se tam tedy ani zkroucit (\(\vartheta^{\prime} = 0\)) a \(M_{t,pri} = G\,I_T\,\vartheta^{\prime}\) klesne na 0. Celý krouticí moment se přenáší prostřednictvím vázaného kroucení: \(M_{t,sec} = 10\) kNm. Mechanicky se oba pásy ohýbají protiběžně ve vlastní rovině (bočně, kolem osy z profilu). Smykové síly v obou pásích mají opačný směr a tvoří dvojici sil. Ramenem je vzdálenost mezi těžnicemi pásů. Tato dvojice sil udržuje rovnováhu s krouticím momentem. Zde je také bimoment maximální (\(M_\omega = 15{,}70\) kNm²).
- S rostoucí vzdáleností od vetknutí bránění deformace příčného profilu (warping) slábne. Průřez se může stále více zkroucit a Sv. Venantovo kroucení přebírá větší část.
- Na volném konci se může průřez volně deformovat (warping), proto je tam bimoment \(M_\omega = 0\). \(M_{t,sec}\) tam přesto není nula, nýbrž 0,84 kNm.
Důvod: V tomto příkladu nepůsobí žádná osová síla, proto se \(M_{t,sec}\) skládá pouze z vázaného kroucení \(M_{t,sec,\omega}\). Tato složka odpovídá derivaci bimomentu podél osy prutu, nikoli hodnotě \(M_\omega\) samotné. Na volném konci je \(M_\omega\) sice nulové, ale stále se tam mění, proto je \(M_{t,sec}\) různé od nuly. Nosník je příliš krátký na to, aby mohlo vázané kroucení až k volnému konci zcela vymizet.
V každém místě nosníku platí rovnováha \(M_{t,pri} + M_{t,sec} = 10\) kNm, na volném konci například \(9{,}16 + 0{,}84 = 10{,}00\) kNm.
Následující obrázky ukazují průběhy. Model „Mt_sec_omega“ k prozkoumání je přiložen v příloze.
Složka 2: osovou silou vyvolaný krouticí moment \(M_{t,sec,N}\)
Působí-li na zkroucený prut osová síla, vzniká dodatečná složka krouticího momentu \(M_{t,sec,N}\). Zohledňuje se pouze při výpočtu podle teorie druhého řádu a s aktivovaným doplňkem Vázané kroucení:
$$M_{t,sec,N} = N\,i_M^2\,\vartheta^{\prime} \qquad (4) \qquad \text{(N jako tahová síla kladné)}$$
kde
- \(N\): osová síla
- \(i_M\): polární setrvačný poloměr vztahující se ke středu smyku, s \(i_M^2 = i_p^2 + y_M^2 + z_M^2\)
- \(i_p\): polární setrvačný poloměr vztahující se k těžišti, s \(i_p^2 = (I_y + I_z)/A\)
- \(y_M\), \(z_M\): souřadnice středu smyku vztahující se k těžišti
- \(I_y\), \(I_z\), \(A\): momenty setrvačnosti plochy a průřezová plocha
U dvojnásobně symetrických průřezů spadají střed smyku a těžiště dohromady, potom platí \(i_M^2 = i_p^2\).
Tahová síla působí ztužujícím dojmem a snižuje zkroucení, tlaková síla jej zvětšuje. Efekt odpovídá tlakovému ohybu, při kterém průhyb s rostoucí tlakovou silou roste nepřiměřeně. Rozhodující je poměr \(N\,i_M^2\) k \(G\,I_T\). U otevřených profilů je \(G\,I_T\) malé, proto tam zanedbání \(M_{t,sec,N}\) podle zatížení rychle vede k nepřípustným výsledkům. Protože osová síla a kroucení v prostorových nosných konstrukcích často vystupují společně, je to prakticky relevantní. U uzavřených průřezů je naopak \(G\,I_T\) tak velké, že \(M_{t,sec,N}\) lze v mnoha případech zanedbat.
Poznámka k interpretaci výsledků: Tlaková síla zesiluje kroucení. Zkroucením se podélná vlákna nastaví šikmo a tlaková síla vytváří v těchto vláknech dodatečný krouticí moment ve směru otáčení. Sv. Venantovo kroucení musí proto přenést více než aplikovaný krouticí moment, \(M_{t,pri}\) se stává větším než vnější krouticí moment. Protože i s osovou silou platí rovnováha \(M_{t,pri} + M_{t,sec}\) = vnější krouticí moment, zobrazuje se tento efekt ve výsledcích jako záporná složka \(M_{t,sec,N}\). Při tahu je tomu naopak: \(M_{t,sec,N}\) je kladné, tahová síla přenáší část krouticího momentu a \(M_{t,pri}\) se zmenšuje.
Následující obrázky ukazují tento efekt. Lze jej také prozkoumat v přiloženém souboru „Mt_sec_N“.
Modely ke stažení
Oba modely použité v tomto příspěvku jsou zde k dispozici k prozkoumání:
