RFEM 区分 \(M_{t,pri}\)(主要的圣维南扭矩)和 \(M_{t,sec}\)(次要扭矩)。\(M_{t,sec}\) 汇总了两个物理上不同的部分:由扭转翘曲产生的扭矩 \(M_{t,sec,\omega}\) 以及由轴力引起的部分 \(M_{t,sec,N}\)。只有激活扭转翘曲附加模块(第 7 个自由度)时,才会考虑 \(M_{t,sec}\) 的这两个部分。
$$\Sigma M_x = M_{t,pri} + \underbrace{M_{t,sec,\omega} + M_{t,sec,N}}_{M_{t,sec}} \qquad (1)$$
其中 \(\Sigma M_x\) 是绕杆件纵向轴 x 的总扭矩。
\(M_{t,pri}\):主要扭矩
$$M_{t,pri} = G\,I_T\,\vartheta^{\prime} \qquad (2)$$
其中
- \(G\):剪切模量
- \(I_T\):扭转惯性矩(圣维南扭转阻力)
- \(\vartheta^{\prime}\):扭转率,即扭转角 \(\vartheta\) 对杆件纵向轴 x 的导数。下文中撇号始终表示对 x 的导数。
\(M_{t,pri}\) 是截面上仅通过其扭转率 \(\vartheta^{\prime}\)(单位长度扭转角)承担的扭矩部分。它与扭转率成正比,比例系数为抗扭刚度 \(G\,I_T\)。
\(M_{t,pri}\) 出现在每次计算中,包括一阶理论计算。对于无翘曲截面(翘曲阻力 \(I_\omega = 0\)),不产生翘曲双力矩 \(M_\omega\),因此也不产生扭转翘曲。在没有轴力的情况下,\(M_{t,pri}\) 就是唯一的扭矩。
\(M_{t,sec}\):次要扭矩 部分 1:扭转翘曲 \(M_{t,sec,\omega}\)
$$M_\omega = -E\,I_\omega\,\vartheta^{\prime\prime} \qquad M_{t,sec,\omega} = M_\omega^{\prime} = -E\,I_\omega\,\vartheta^{\prime\prime\prime} \qquad (3\text{a,b})$$
其中
- \(M_\omega\):翘曲双力矩
- \(E\):弹性模量
- \(I_\omega\):翘曲阻力(二阶翘曲惯性矩)
\(M_{t,sec,\omega}\) 是由翘曲受到约束而产生的扭矩,即翘曲双力矩 \(M_\omega\) 的导数。
以一个一端夹紧的工字钢为例,其翘曲在夹紧端受到约束。在自由端作用有 10 kNm 的扭矩。由于没有轴力,因此不考虑 \(M_{t,sec,N}\) 部分,此处 \(M_{t,sec}\) 仅对应于扭转翘曲 \(M_{t,sec,\omega}\)。
分布图显示了扭矩沿杆件如何分配到两种承载机制:
- 在夹紧端,截面无法翘曲,因此也无法在该处扭转(\(\vartheta^{\prime} = 0\)),\(M_{t,pri} = G\,I_T\,\vartheta^{\prime}\) 降为 0。全部扭矩由扭转翘曲承担:\(M_{t,sec} = 10\) kNm。在力学上,两个翼缘在各自平面内(侧向,绕截面的 z 轴)以相反方向弯曲。两个翼缘中的剪力方向相反,形成一对力偶。力臂为两个翼缘中线之间的距离。该力偶与扭矩保持平衡。此处翘曲双力矩也达到最大值(\(M_\omega = 15{,}70\) kNm²)。
- 随着距夹紧端距离的增加,翘曲约束逐渐减弱。截面越来越能够扭转,圣维南扭转承担大部分扭矩。
- 在自由端,截面可以自由翘曲,因此该处翘曲双力矩为 \(M_\omega = 0\)。但该处 \(M_{t,sec}\) 并非为零,而是 0,84 kNm。
原因:在此例中没有轴力作用,因此 \(M_{t,sec}\) 仅由扭转翘曲 \(M_{t,sec,\omega}\) 组成。该部分对应于翘曲双力矩沿杆轴的导数,而不是 \(M_\omega\) 本身的值。在自由端,\(M_\omega\) 虽然为零,但仍在变化,因此 \(M_{t,sec}\) 不等于零。梁太短,以至于扭转翘曲无法在到达自由端之前完全衰减。
在梁的每个位置都满足平衡条件 \(M_{t,pri} + M_{t,sec} = 10\) kNm,例如在自由端 \(9{,}16 + 0{,}84 = 10{,}00\) kNm。
下图显示了这些分布。用于重现的模型“Mt_sec_omega”已附在附件中。
部分 2:由轴力引起的扭矩 \(M_{t,sec,N}\)
当扭转的杆件受轴力作用时,会产生额外的扭矩分量 \(M_{t,sec,N}\)。仅在进行二阶分析计算且激活扭转翘曲附加模块时才考虑该分量:
$$M_{t,sec,N} = N\,i_M^2\,\vartheta^{\prime} \qquad (4) \qquad \text{(N als Zugkraft positiv)}$$
其中
- \(N\):轴力
- \(i_M\):相对于剪心的极惯性半径,满足 \(i_M^2 = i_p^2 + y_M^2 + z_M^2\)
- \(i_p\):相对于重心的极惯性半径,满足 \(i_p^2 = (I_y + I_z)/A\)
- \(y_M\), \(z_M\):剪心相对于重心的坐标
- \(I_y\), \(I_z\), \(A\):惯性矩和截面面积
对于双对称截面,剪心与重心重合,此时 \(i_M^2 = i_p^2\)。
拉力起加强作用并减小扭转,压力则增大扭转。该效应类似于压弯,其中挠度随压力增大而不成比例地增长。决定性因素是 \(N\,i_M^2\) 与 \(G\,I_T\) 的比值。对于开口截面,\(G\,I_T\) 较小,因此根据荷载情况,忽略 \(M_{t,sec,N}\) 会很快变得不可接受。由于在空间结构中轴力和扭转经常同时出现,这在实际应用中具有重要意义。相反,对于闭口截面,\(G\,I_T\) 足够大,在许多情况下可以忽略 \(M_{t,sec,N}\)。
关于结果解读的说明:压力会加剧扭转。由于扭转,纵向纤维呈倾斜状态,压力在这些纤维中产生沿转动方向的附加扭矩。因此圣维南扭转必须承担比所施加扭矩更多的扭矩,\(M_{t,pri}\) 会大于外部扭矩。由于即使有轴力作用,平衡条件 \(M_{t,pri} + M_{t,sec}\) = 外部扭矩仍然成立,该效应在结果中表现为负的 \(M_{t,sec,N}\) 分量。受拉时情况相反:\(M_{t,sec,N}\) 为正,拉力分担部分扭矩,\(M_{t,pri}\) 变小。
下图显示了该效应。也可以在附带文件“Mt_sec_N”中重现该效应。
可供下载的模型
本文中使用的两个模型可在此处下载以供重现:
