O RFEM distingue \(M_{t,pri}\) (momento de torção primário, de St. Venant) e \(M_{t,sec}\) (momento de torção secundário). \(M_{t,sec}\) agrupa duas componentes fisicamente distintas: o momento de torção da torção com empenamento \(M_{t,sec,\omega}\) e a componente induzida pela força normal \(M_{t,sec,N}\). Ambas as componentes de \(M_{t,sec}\) só são consideradas se o Add-On Torção com empenamento (7.º grau de liberdade) estiver ativado.
$$\Sigma M_x = M_{t,pri} + \underbrace{M_{t,sec,\omega} + M_{t,sec,N}}_{M_{t,sec}} \qquad (1)$$
Sendo \(\Sigma M_x\) o momento de torção total em torno do eixo longitudinal da barra x.
\(M_{t,pri}\): momento de torção primário
$$M_{t,pri} = G\,I_T\,\vartheta^{\prime} \qquad (2)$$
com
- \(G\): módulo de corte
- \(I_T\): momento de inércia de torção (resistência à torção de St. Venant)
- \(\vartheta^{\prime}\): rotação específica, ou seja, a derivada da rotação \(\vartheta\) em relação ao eixo longitudinal da barra x. No que se segue, os apóstrofos designam sempre derivadas em relação a x.
\(M_{t,pri}\) é a componente do momento de torção que a secção transversal suporta unicamente através da sua rotação específica \(\vartheta^{\prime}\) (rotação por unidade de comprimento). É proporcional à rotação específica, sendo o fator de proporcionalidade a rigidez de torção \(G\,I_T\).
\(M_{t,pri}\) surge em qualquer cálculo, também na análise estática linear. Em secções transversais sem empenamento (resistência ao empenamento \(I_\omega = 0\)) não surge nenhum bimomento de empenamento \(M_\omega\) e, consequentemente, também não há torção com empenamento. Sem força normal, \(M_{t,pri}\) é então o único momento de torção.
\(M_{t,sec}\): momento de torção secundário Componente 1: torção com empenamento \(M_{t,sec,\omega}\)
$$M_\omega = -E\,I_\omega\,\vartheta^{\prime\prime} \qquad M_{t,sec,\omega} = M_\omega^{\prime} = -E\,I_\omega\,\vartheta^{\prime\prime\prime} \qquad (3\text{a,b})$$
com
- \(M_\omega\): bimomento de empenamento
- \(E\): módulo de elasticidade
- \(I_\omega\): resistência ao empenamento (momento de empenamento de 2.ª ordem)
\(M_{t,sec,\omega}\) é o momento de torção resultante do impedimento do empeno, a derivada do bimomento de empenamento \(M_\omega\).
Como exemplo serve um perfil I encastrado de um lado, cujo empeno está impedido no encastramento. No extremo livre atua um momento de torção de 10 kNm. Não há força normal, pelo que a componente \(M_{t,sec,N}\) não se aplica, e \(M_{t,sec}\) corresponde aqui unicamente à torção com empenamento \(M_{t,sec,\omega}\).
As distribuições mostram como a torção se divide ao longo da barra entre os dois mecanismos resistentes:
- No encastramento, a secção transversal não pode empenar. Assim, também não pode rotação específica (\(\vartheta^{\prime} = 0\)), e \(M_{t,pri} = G\,I_T\,\vartheta^{\prime}\) cai para 0. O momento de torção total é suportado através da torção com empenamento: \(M_{t,sec} = 10\) kNm. Mecanicamente, as duas cordas flexionam-se em sentidos opostos no seu próprio plano (lateralmente, em torno do eixo Z do perfil). As forças transversais nas duas cordas têm direções opostas e formam um par de forças. O braço de alavanca é a distância entre as linhas médias das cordas. Este par de forças equilibra o momento de torção. Aqui, o bimomento de empenamento também é máximo (\(M_\omega = 15{,}70\) kNm²).
- Com o aumento da distância ao encastramento, o impedimento do empenamento diminui. A secção transversal pode rotação crescentemente, e a torção de St. Venant assume a maior parte.
- No extremo livre, a secção transversal pode empenar livremente, razão pela qual o bimomento de empenamento aí é \(M_\omega = 0\). \(M_{t,sec}\) não é zero aí, mas sim 0,84 kNm.
O motivo: Neste exemplo não atua nenhuma força normal, pelo que \(M_{t,sec}\) consiste unicamente na torção com empenamento \(M_{t,sec,\omega}\). Esta componente corresponde à derivada do bimomento de empenamento ao longo do eixo da barra e não ao valor de \(M_\omega\) em si. No extremo livre, \(M_\omega\) é de facto zero, mas ainda varia aí, razão pela qual \(M_{t,sec}\) é diferente de zero. A viga é demasiado curta para que a torção com empenamento possa decrescer completamente até ao extremo livre.
Em cada ponto da viga vale o equilíbrio \(M_{t,pri} + M_{t,sec} = 10\) kNm, no extremo livre, por exemplo, \(9{,}16 + 0{,}84 = 10{,}00\) kNm.
As imagens seguintes mostram as distribuições. O modelo „Mt_sec_omega“ para reprodução está anexado.
Componente 2: momento de torção induzido pela força normal \(M_{t,sec,N}\)
Se atuar uma força normal numa barra rotação, surge uma componente adicional de momento de torção \(M_{t,sec,N}\). Esta só é considerada no cálculo segundo a análise de segunda ordem e com o Add-On Torção com empenamento ativado:
$$M_{t,sec,N} = N\,i_M^2\,\vartheta^{\prime} \qquad (4) \qquad \text{(N como força de tração positivo)}$$
com
- \(N\): força normal
- \(i_M\): raio de giração polar em relação ao centro de corte, com \(i_M^2 = i_p^2 + y_M^2 + z_M^2\)
- \(i_p\): raio de giração polar em relação ao centro de gravidade, com \(i_p^2 = (I_y + I_z)/A\)
- \(y_M\), \(z_M\): coordenadas do centro de corte em relação ao centro de gravidade
- \(I_y\), \(I_z\), \(A\): momentos de inércia de área e área de secção transversal
Em secções transversais duplamente simétricas, o centro de corte e o centro de gravidade coincidem, valendo então \(i_M^2 = i_p^2\).
Uma força de tração atua de forma rigidizadora e reduz a rotação, uma força de compressão aumenta-a. O efeito corresponde à flexão por compressão, na qual a flecha cresce desproporcionalmente com o aumento da força de compressão. Decisiva é a relação \(N\,i_M^2\) com \(G\,I_T\). Em perfis abertos, \(G\,I_T\) é pequeno, razão pela qual a negligência de \(M_{t,sec,N}\) se torna rapidamente inadmissível, dependendo da carga. Como a força normal e a torção ocorrem frequentemente em conjunto em estruturas espaciais, isto é relevante na prática. Em secções transversais fechadas, \(G\,I_T\) é, pelo contrário, tão grande que \(M_{t,sec,N}\) pode ser negligenciado em muitos casos.
Nota sobre a interpretação de resultados: Uma força de compressão intensifica a torção. Devido à rotação, as fibras longitudinais inclinam-se, e a força de compressão gera nessas fibras um momento de torção adicional no sentido de rotação. A torção de St. Venant tem, portanto, de suportar mais do que o momento de torção aplicado, \(M_{t,pri}\) torna-se maior do que o momento de torção externo. Como também com força normal vale o equilíbrio \(M_{t,pri} + M_{t,sec}\) = momento de torção externo, este efeito aparece nos resultados como uma componente negativa \(M_{t,sec,N}\). Com tração é o contrário: \(M_{t,sec,N}\) é positivo, a força de tração suporta uma parte do momento de torção, e \(M_{t,pri}\) torna-se menor.
As imagens seguintes mostram este efeito. Ele também pode ser reproduzido no ficheiro anexado „Mt_sec_N“.
Modelos para download
Os dois modelos utilizados nesta contribuição estão disponíveis aqui para reprodução:
