RFEM rozróżnia \(M_{t,pri}\) (pierwotny moment skręcający św. Venanta) i \(M_{t,sec}\) (wtórny moment skręcający). \(M_{t,sec}\) obejmuje dwa fizycznie różne składniki: moment skręcający ze skręcania skrępowanego \(M_{t,sec,\omega}\) oraz składnik indukowany siłą osiową \(M_{t,sec,N}\). Oba składniki \(M_{t,sec}\) są uwzględniane tylko wtedy, gdy aktywowany jest dodatek Skręcanie skrępowane (7. stopień swobody).
$$\Sigma M_x = M_{t,pri} + \underbrace{M_{t,sec,\omega} + M_{t,sec,N}}_{M_{t,sec}} \qquad (1)$$
Przy czym \(\Sigma M_x\) jest całkowitym momentem skręcającym wokół wzdłużnej osi pręta x.
\(M_{t,pri}\): pierwotny moment skręcający
$$M_{t,pri} = G\,I_T\,\vartheta^{\prime} \qquad (2)$$
gdzie
- \(G\): moduł ścinania
- \(I_T\): moment bezwładności przy skręcaniu swobodnym (opór skręcania św. Venanta)
- \(\vartheta^{\prime}\): skręcenie, tj. pochodna obrotu \(\vartheta\) względem wzdłużnej osi pręta x. Kreski oznaczają w dalszym ciągu zawsze pochodne względem x.
\(M_{t,pri}\) jest tą częścią momentu skręcającego, którą przekrój przenosi wyłącznie poprzez swoje skręcenie \(\vartheta^{\prime}\) (obrót na jednostkę długości). Jest proporcjonalny do skręcenia, a współczynnikiem proporcjonalności jest sztywność na skręcanie \(G\,I_T\).
\(M_{t,pri}\) występuje w każdym obliczeniu, również według teorii I rzędu. Przy przekrojach niewypaczeniowych (opór wypaczenia \(I_\omega = 0\)) nie powstaje dwumoment wypaczenia \(M_\omega\), a w konsekwencji również skręcanie skrępowane. Bez siły osiowej \(M_{t,pri}\) jest wtedy jedynym momentem skręcającym.
\(M_{t,sec}\): wtórny moment skręcający Składnik 1: skręcanie skrępowane \(M_{t,sec,\omega}\)
$$M_\omega = -E\,I_\omega\,\vartheta^{\prime\prime} \qquad M_{t,sec,\omega} = M_\omega^{\prime} = -E\,I_\omega\,\vartheta^{\prime\prime\prime} \qquad (3\text{a,b})$$
gdzie
- \(M_\omega\): dwumoment wypaczenia
- \(E\): moduł sprężystości
- \(I_\omega\): opór wypaczenia (wycinkowy moment bezwładności II stopnia)
\(M_{t,sec,\omega}\) jest momentem skręcającym wynikającym z utrudnienia deplanacji, czyli pochodną dwumomentu wypaczenia \(M_\omega\).
Jako przykład służy utwierdzony z jednej strony dwuteownik, którego deplanacja jest utrudniona na utwierdzeniu. Na wolnym końcu działa moment skręcający o wartości 10 kNm. Nie ma siły osiowej, dlatego składnik \(M_{t,sec,N}\) nie występuje, a \(M_{t,sec}\) odpowiada tutaj wyłącznie skręcaniu skrępowanemu \(M_{t,sec,\omega}\).
Przebiegi pokazują, jak skręcanie rozkłada się wzdłuż pręta na oba mechanizmy nośne:
- Na utwierdzeniu przekrój nie może się wypaczyć. W związku z tym nie może się tam również skręcić (\(\vartheta^{\prime} = 0\)), a \(M_{t,pri} = G\,I_T\,\vartheta^{\prime}\) spada do 0. Całkowity moment skręcający jest przenoszony przez skręcanie skrępowane: \(M_{t,sec} = 10\) kNm. Mechanicznie oba pasy wyginają się przy tym przeciwnie we własnych płaszczyznach (bocznie, wokół osi z przekroju). Siły tnące w obu pasach mają przeciwne kierunki i tworzą parę sił. Ramieniem dźwigni jest odległość między osiami środkowymi pasów. Ta para sił równoważy moment skręcający. Tutaj dwumoment wypaczenia jest również maksymalny (\(M_\omega = 15{,}70\) kNm²).
- Wraz ze wzrostem odległości od utwierdzenia utrudnienie wypaczenia maleje. Przekrój może się coraz bardziej skręcić, a skręcanie św. Venanta przejmuje większość.
- Na wolnym końcu przekrój może się swobodnie wypaczać, dlatego dwumoment wypaczenia jest tam \(M_\omega = 0\). \(M_{t,sec}\) nie jest tam jednak zerem, lecz wynosi 0,84 kNm.
Przyczyna: W tym przykładzie nie działa siła osiowa, dlatego \(M_{t,sec}\) składa się wyłącznie ze skręcania skrępowanego \(M_{t,sec,\omega}\). Ten składnik odpowiada pochodnej dwumomentu wypaczenia wzdłuż osi pręta, a nie wartości samego \(M_\omega\). Na wolnym końcu \(M_\omega\) jest co prawda zerem, ale nadal się tam zmienia, dlatego \(M_{t,sec}\) jest różne od zera. Belka jest zbyt krótka, aby skręcanie skrępowane mogło całkowicie wygasnąć do wolnego końca.
W każdym miejscu belki obowiązuje równowaga \(M_{t,pri} + M_{t,sec} = 10\) kNm, na przykład na wolnym końcu \(9{,}16 + 0{,}84 = 10{,}00\) kNm.
Poniższe obrazy pokazują przebiegi. Model „Mt_sec_omega” do prześledzenia jest załączony.
Składnik 2: moment skręcający indukowany siłą osiową \(M_{t,sec,N}\)
Jeśli na skręcony pręt działa siła osiowa, powstaje dodatkowy składnik momentu skręcającego \(M_{t,sec,N}\). Jest on uwzględniany tylko przy obliczaniu według teorii drugiego rzędu i z aktywowanym dodatkiem Skręcanie skrępowane:
$$M_{t,sec,N} = N\,i_M^2\,\vartheta^{\prime} \qquad (4) \qquad \text{(N jako siła rozciągająca dodatnie)}$$
gdzie
- \(N\): siła osiowa
- \(i_M\): polarny promień bezwładności względem środka ścinania, przy czym \(i_M^2 = i_p^2 + y_M^2 + z_M^2\)
- \(i_p\): polarny promień bezwładności względem środka ciężkości, przy czym \(i_p^2 = (I_y + I_z)/A\)
- \(y_M\), \(z_M\): współrzędne środka ścinania względem środka ciężkości
- \(I_y\), \(I_z\), \(A\): momenty bezwładności i pole przekroju
Przy przekrojach podwójnie symetrycznych środek ścinania i środek ciężkości się pokrywają, wtedy obowiązuje \(i_M^2 = i_p^2\).
Siła rozciągająca działa usztywniająco i zmniejsza skręcenie, siła ściskająca je zwiększa. Efekt odpowiada zginaniu ścisającemu, przy którym ugięcie rośnie ponadproporcjonalnie wraz ze wzrostem siły ściskającej. Decydujący jest stosunek \(N\,i_M^2\) do \(G\,I_T\). Przy profilach otwartych \(G\,I_T\) jest małe, dlatego zaniedbanie \(M_{t,sec,N}\) staje się tam w zależności od obciążenia szybko niedopuszczalne. Ponieważ siła osiowa i skręcanie w przestrzennych układach nośnych często występują wspólnie, jest to istotne praktycznie. Przy przekrojach zamkniętych \(G\,I_T\) jest natomiast tak duże, że \(M_{t,sec,N}\) można w wielu przypadkach zaniedbać.
Uwaga dotycząca interpretacji wyników: Siła ściskająca wzmacnia skręcanie. W wyniku skręcenia włókna wzdłużne ustawiają się ukośnie, a siła ściskająca wywołuje w tych włóknach dodatkowy moment skręcający w kierunku obrotu. Skręcanie św. Venanta musi więc przenieść więcej niż przyłożony moment skręcający, \(M_{t,pri}\) staje się większe niż zewnętrzny moment skręcający. Ponieważ również z siłą osiową obowiązuje równowaga \(M_{t,pri} + M_{t,sec}\) = zewnętrzny moment skręcający, efekt ten pojawia się w wynikach jako ujemny składnik \(M_{t,sec,N}\). Przy rozciąganiu jest odwrotnie: \(M_{t,sec,N}\) jest dodatnie, siła rozciągająca przenosi część momentu skręcającego, a \(M_{t,pri}\) staje się mniejsze.
Poniższe obrazy pokazują ten efekt. Można go również prześledzić w załączonym pliku „Mt_sec_N”.
Modele do pobrania
Oba modele użyte w tym artykule są tutaj dostępne do prześledzenia:
