Нелинейные расчеты, в общем случае, приводят к системе нелинейных алгебраических уравнений, которые необходимо решить. Надежность нелинейного решателя является важной частью процесса вычисления в рамках анализа методом конечных элементов. Нелинейный метод преобразует нелинейную задачу в последовательность линейных задач, которые затем решает линейный решатель. Для решения нелинейной алгебраической системы уравнений имеется шесть методов решения.
Ньютона-Рафсона
В случае непрерывной правой части предпочтительнее использовать нелинейный метод Ньютона-Рафсона. В данном методе тангенциальная матрица жесткости рассчитывается как функция текущего состояния деформации и инвертируется в каждом цикле итерации. В большинстве случаев метод отличается быстрой (квадратичной) сходимостью.
по Пикару
В случае разрывов можно применить метод Пикара как более надёжный выбор. Этот метод также известен как итерационный метод с фиксированной точкой или метод секущих. Его можно рассматривать как конечно-разностное приближение метода Ньютона. Рассматривается разница между текущим циклом итерации и начальным циклом итерации в текущем шаге нагрузки. Метод не так быстро сходится, как метод Ньютона в целом, но он может быть более устойчивым для некоторых нелинейных задач.
Расчет по Ньютону-Рафсону и по Пикару
Идея данного метода комбинирования состоит в том, чтобы объединить преимущества обоих методов. В начальном приближении используется метод Пикара, чтобы избежать начальных неустойчивостей. Далее применяется быстрый метод Ньютона-Рафсона. Совместно можно достичь надежного и относительно быстрого приближения.
В настройках могут быть заданы соотношения соответствующих методов.
Ньютона-Рафсона с постоянной матрицей жесткости
Этот вариант метода Ньютона-Рафсона может быть выбран для расчетов по теории анлиза больших деформаций. Матрица жесткости создается только один раз в первом шаге итерации и затем используется во всех последующих циклах расчета (поэтому она постоянна). Таким образом, расчет выполняется быстрее, но не так стабилен, как расчеты по нормальному или модифицированному методу Ньютона-Рафсона.
При меньших степенях свободы метод Ньютона-Рафсона является более эффективным. При небольших изменениях наклона функции обычно имеет преимущество метод постоянной жесткости. Однако, если уклон подвержен резким изменениям, обычно рекомендуется Ньютона-Рафсона.
По Ньютону-Рафсону, модификация
Данный метод используется для посткритического расчета, при котором необходимо преодолеть область неустойчивости. Если нестабильность доступна и матрица жесткости не может быть обращена, программа использует матрицу жесткости последнего стабильного шага итерации. Программа продолжает рассчитывать с этой матрицей, пока не будет достигнуто вновь диапазона стабильности.
По сравнению с (обычным) Ньютона-Рафсона, модифицированный Ньютона-Рафсона имеет тенденцию сходиться медленнее (линейно) с большим количеством итераций, но не требует больших вычислений, и является более устойчивым к экстремальным нелинейностям (например, хрупкому растрескиванию), где Ньютон-Рафсон может не работать.
Динамическая релаксация
Последний метод подходит для расчетов по методу больших деформаций и для решения проблем, связанных с посткритическим расчетом. При данном подходе вводится искусственный параметр времени. С учетом инерции и затухания, ошибка может быть обработана как динамическая проблема. В данном подходе используется явный метод времени-интеграции; матрица жесткости не инвертируется. Никакой части модели не разрешается иметь равный нулю удельный при расчете с динамической релаксацией. Этот метод включает в себя затухание Рэлея , которое может определяться с помощью констант α и β в соответствии со следующим уравнением с производными по времени:
| M | Сосредоточенная (диагональная) матрица масс |
| t | Толщина лобовой плиты |
| ti | Толщина плиты |
| hm | Расстояние между осями полок |
| Iω | Сопротивление короблению удлиненной балки |