Nichtlineare Löser

Nichtlineare Berechnungen führen im Allgemeinen zu einem System nichtlinearer algebraischer Gleichungen, die gelöst werden müssen. Die Robustheit des nichtlinearen Lösers ist ein entscheidender Teil des Berechnungsprozesses im Rahmen der Finite-Elemente-Analyse. Die nichtlineare Methode transformiert das nichtlineare Problem in eine Abfolge linearer Probleme, die dann durch einen linearen Löser gelöst werden. Es sind sechs verfügbare Methoden zur Lösung des nichtlinearen, algebraischen Gleichungssystems vorhanden.

Newton-Raphson

Die nichtlineare Methode von Newton-Raphson wird bei einer kontinuierlichen rechten Seite bevorzugt. In dieser Methode wird die tangentiale Steifigkeitsmatrix als Funktion des aktuellen Verformungszustands berechnet und in jedem Iterationszyklus invertiert. In den meisten Fällen zeigt die Methode eine schnelle (quadratische) Konvergenz.

Newton-Raphson-Visualisierung

Picard

Im Falle von Diskontinuitäten kann die Picard-Methode als robustere Wahl eingesetzt werden. Diese Methode ist auch als Fixpunkt- oder Sekantenmethode bekannt. Sie kann als finite-Differenzen-Approximation der Newton-Methode betrachtet werden. Der Unterschied wird zwischen dem aktuellen und dem initialen Iterationszyklus im aktuellen Lastschritt betrachtet. Die Methode konvergiert im Allgemeinen nicht so schnell wie die Newton-Methode, kann jedoch bei einigen nichtlinearen Problemen robuster sein.

Picard-Visualisierung

Newton-Raphson kombiniert mit Picard

Die Idee dieser Kombinationsmethode ist es, die Vorteile beider Methoden zu vereinen. Für die anfängliche Annäherung wird die Picard-Methode verwendet, um anfängliche Instabilitäten zu vermeiden. Danach wird die schnelle Newton-Raphson-Methode verwendet. Zusammen kann eine robuste und relativ schnelle Annäherung erreicht werden.

In den Einstellungen können die Anteile der jeweiligen Methoden definiert werden.

Newton-Raphson mit konstanter Steifigkeitsmatrix

Diese Version der Newton-Raphson-Methode kann für Berechnungen nach der großen Deformationsanalyse ausgewählt werden. Die Steifigkeitsmatrix wird nur einmal im ersten Iterationsschritt erstellt und dann in allen nachfolgenden Berechnungsschleifen verwendet (daher konstant). Somit laufen die Berechnungen schneller, sind jedoch nicht so stabil wie Berechnungen nach der normalen oder modifizierten Newton-Raphson-Methode.

Bei niedrigen Freiheitsgraden tendiert die Newton-Raphson-Methode dazu, effizienter zu sein. Bei kleinen Variationen der Steigung in der Funktion hat in der Regel die Methode mit konstanter Steifigkeit den Vorteil. Wenn die Steigung jedoch drastische Änderungen erfährt, wird in der Regel Newton-Raphson empfohlen.

Modifizierte Newton-Raphson

Diese Methode wird verwendet, um die nachkritische Analyse durchzuführen, bei der ein Bereich mit Instabilität überwunden werden muss. Wenn eine Instabilität vorliegt und die Steifigkeitsmatrix nicht invertiert werden kann, verwendet das Programm die Steifigkeitsmatrix des letzten stabilen Iterationsschritts. Das Programm berechnet mit dieser Matrix weiter, bis wieder ein Stabilitätsbereich erreicht ist.

Im Vergleich zu (regulärem) Newton-Raphson tendiert die modifizierte Newton-Raphson dazu, langsamer (linear) mit mehr, aber rechnerisch kostengünstigen Iterationen zu konvergieren und ist robuster bei extremen Nichtlinearitäten (wie sprödem Riss), bei denen Newton-Raphson möglicherweise scheitern könnte.

Modifizierte-Newton-Raphson-Visualisierung

Dynamische Entspannung

Die letzte Methode ist geeignet für Berechnungen nach der großen Deformationsanalyse und zur Lösung von Problemen in Bezug auf die nachkritische Analyse. In diesem Ansatz wird ein künstlicher Zeitparameter eingeführt. Unter Berücksichtigung von Trägheit und Dämpfung kann das Versagen als dynamisches Problem behandelt werden. Dieser Ansatz verwendet die explizite Zeitschritt-Methode; die Steifigkeitsmatrix wird nicht invertiert. Kein Teil des Modells darf bei Berechnungen mit dynamischer Entspannung ein spezifisches Gewicht von null haben. Diese Methode umfasst die Rayleigh-Dämpfung, die mittels der Konstanten α und β gemäß der folgenden Gleichung mit den Zeitableitungen definiert werden kann: