Nichtlineare Berechnungen ergeben im Allgemeinen ein System von nichtlinearen algebraischen Gleichungen, welche gelöst werden müssen. Die Robustheit des nichtlinearen Solvers ist ein entscheidender Teil des Berechnungsprozesses im Rahmen der Finite-Elemente-Analyse. Die nichtlineare Methode wandelt das nichtlineare Problem in eine Folge linearer Probleme um, die dann von einem linearen Gleichungslöser gelöst werden. Es stehen sechs Methoden zur Auswahl, das nichtlineare algebraische Gleichungssystem zu lösen.
Newton-Raphson
Das nichtlineare Newton-Raphson-Verfahren ist bei einer stetigen rechten Seite zu bevorzugen. Bei dieser Methode wird die tangentiale Steifigkeitsmatrix als Funktion des aktuellen Verformungszustands berechnet und in jedem Iterationszyklus invertiert. In den meisten Fällen zeichnet sich das Verfahren durch eine schnelle (quadratische) Konvergenz aus.
Picard
Im Fall von Unstetigkeiten kann die Picard-Methode als robustere Wahl verwendet werden. Diese Methode ist auch unter den Bezeichnungen Fixpunkt-Iterationsverfahren oder Sekantenverfahren bekannt. Sie kann als Finite-Differenzen-Näherung der Newtonmethode betrachtet werden. Die Differenz wird zwischen dem aktuellen Iterationszyklus und dem anfänglichen Iterationszyklus in der aktuellen Laststufe betrachtet. Die Methode konvergiert nicht so schnell wie die Newton'-Methode im Allgemeinen, aber sie kann bei einigen nichtlinearen Problemen robuster sein.
Newton-Raphson kombiniert mit Picard
Der Gedanke dieses Kombinationsverfahrens ist es, die Vorteile beider Verfahren zusammenzubringen. Für die anfängliche Näherung wird die Picard-Methode verwendet, um anfängliche Instabilitäten zu vermeiden. Danach kommt das schnelle Newton-Raphson-Verfahren zum Einsatz. Gemeinsam kann eine belastbare und relativ schnelle Näherung erreicht werden.
In den Einstellungen lassen sich die Anteile der jeweiligen Verfahren festlegen.
Newton-Raphson mit konstanter Steifigkeitsmatrix
Diese Variante des Newton-Raphson-Verfahrens steht für Untersuchungen nach III. Ordnung zur Auswahl. Die Steifigkeitsmatrix wird nur einmal im ersten Iterationsschritt gebildet und dann in allen folgenden Berechnungsschlaufen benutzt (daher konstant). Die Berechnung nach dieser Methode verläuft deshalb schneller, jedoch nicht so stabil wie die Berechnung nach dem normalen oder dem modifizierten Newton-Raphson-Verfahren.
Für niedrigere Freiheitsgrade ist tendenziell die Newton-Raphson-Methode effektiver. Bei kleinen Variationen der Steigung in der Funktion hat die Methode mit konstanter Steifigkeit meist den Vorteil. Wenn die Neigung jedoch drastische Änderungen erfährt, ist meistens Newton-Raphson zu empfehlen.
Modifizierter Newton-Raphson
Diese Methode wird für das Durchschlagproblem angewendet, bei dem ein Bereich mit Instabilität überwunden werden muss. Wenn eine Instabilität vorliegt und die Steifigkeitsmatrix nicht invertiert werden kann, verwendet das Programm die Steifigkeitsmatrix des letzten stabilen Iterationsschritts. Mit dieser Matrix wird weitergerechnet, bis wieder ein Stabilitätsbereich erreicht ist.
Im Vergleich zum (regulären) Newton-Raphson konvergiert der modifizierte Newton-Raphson tendenziell langsamer (linear) mit mehr, aber rechnerisch kostengünstigen Iterationen und ist robuster bei extremen Nichtlinearitäten (wie spröde Rissbildung), bei denen Newton-Raphson versagen könnte.
Dynamische Relaxation
Die letzte Methode eignet sich für Berechnungen nach Theorie III. Ordnung und zur Lösung von Durchschlagproblemen. Bei diesem Ansatz wird ein künstlicher Zeitparameter eingeführt. Unter Berücksichtigung von Trägheit und Dämpfung lässt sich die Aufgabe dann als dynamisches Problem behandeln. Dieser Ansatz benutzt die explizite Zeit-Integrationsmethode; die Steifigkeitsmatrix wird dabei nicht invertiert. Für eine Berechnung mit dynamischer Relaxation darf kein Teil des Modells ein spezifisches Gewicht von null aufweisen. Diese Methode schließt auch die Rayleigh-Dämpfung ein, die über die Konstanten α und β nach folgender Gleichung mit den Ableitungen nach der Zeit definiert werden kann:
| M | konzentrierte (diagonale) Massenmatrix |
| C | Diagonale Dämpfungsmatrix |
| K | Steifigkeitsmatrix |
| f | Vektor der äußeren Kräfte |
| u | Diskretisierter Verschiebevektor |