4053x

2024-02-28

VE0052 | Консоль с моментом на свободном конце – Расчёт конструкций

Описание

Консоль нагружена моментом M на свободном конце. Используя геометрически линейный анализ и анализ больших деформаций, пренебрегая собственным весом балки, определите максимальные перемещения u_x и u_z на свободном конце. Данный верификационный пример основан на примере, представленном Gensichen и Lumpe (см. ссылку).

Материал	Сталь	Модуль упругости	E	210000.000	МПа
Материал	Сталь	Модуль сдвига	G	81000.000	МПа
Геометрия	Трубчатая консоль	Длина	L	4.000	м
		Диаметр	d	42.400	мм
		Толщина стенки	t	4.000	мм
Нагрузка		Изгибающий момент	M	3.400	кНм

Консоль с моментом на свободном конце

Аналитическое решение

Геометрически линейный анализ

При геометрически линейном анализе задача может быть решена с помощью уравнения Эйлера-Бернулли. Для заданной геометрии, нагрузки и граничных условий максимальное перемещение u_z,max составляет:

u_{z, \max} = \frac{{ML}^{2}}{2 {EI}_{y}}

Максимальный прогиб - геометрически линейный расчет

Перемещение u_x,max при геометрически линейном анализе равно нулю.

Анализ больших деформаций

Балка при анализе больших деформаций описывается нелинейным дифференциальным уравнением, как показано на следующем рисунке.

κ (x) = \frac{u_{z}'' (x)}{{[1 + (u_{z}' (x))^{2}]}^{\frac{3}{2}}} = - \frac{M}{{EI}_{y}}

Дифференциальное уравнение для прогиба балки

Консоль с моментом на свободном конце - расчет больших деформаций

Правая часть уравнения постоянна, следовательно, левая часть, представляющая собой непосредственно кривизну балки κ, также постоянна. Единственная кривая, имеющая постоянную кривизну, — это окружность, поэтому решением данной задачи является дуга окружности радиуса R.

u_{x, \max} = Rsinα - L

Максимальный прогиб в направлении x - расчет больших деформаций

u_{z, \max} = R (1 - cosα)

Максимальный прогиб вдоль z - расчет больших деформаций

R — радиус дуги окружности. Угол дуги окружности α равен α=L/R.

Настройки RFEM и RSTAB

Моделирование в RFEM 5.05, RSTAB 8.05 и RFEM 6.01, RSTAB 9.01
Размер элемента l_FE= 0.400 м
Количество шагов приращения — 5
Используется изотропная линейно-упругая модель материала
Учтена сдвиговая жесткость стержней
Включено деление стержней для анализа больших деформаций или посткритического анализа

Результаты

u_{x, max} [м]	Аналитическое решение	RFEM 6	Отношение	RSTAB 9	Отношение
Геометрически линейный анализ	0.000	0.000	-	0.000	-
Анализ больших деформаций	-0.337	-0.336	0.997	-0.336	0.997

u_{z, max} [м]	Аналитическое решение	RFEM 6	Отношение	RSTAB 9	Отношение
Геометрически линейный анализ	1.441	1.441	1.000	1.441	1.000
Анализ больших деформаций	1.379	1.380	1.001	1.380	1.001

u_{x, max} [м]	Аналитическое решение	RFEM 5	Отношение	RSTAB 8	Отношение
Геометрически линейный анализ	0.000	0.000	-	0.000	-
Анализ больших деформаций	-0.337	-0.338	1.003	-0.337	1.000

u_{z, max} [м]	Аналитическое решение	RFEM 5	Отношение	RSTAB 8	Отношение
Геометрически линейный анализ	1.441	1.441	1.000	1.441	1.000
Анализ больших деформаций	1.379	1.380	1.001	1.380	1.001

610x

15x

Контрольный пример 000052 | 1

Ссылки

ЛУМПЕ, Г. и ГЕНЗИХЕН, В. Оценка линейного и нелинейного расчёта стержней в теории и программном обеспечении: контрольные примеры, причины ошибок, подробная теория. Эрнст, 2014.

Gensichen

;