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28. Februar 2024

Kragarm mit Momentenbelastung am freien Ende – Strukturanalyse

Beschreibung

Ein Kragträger wird an seinem freien Ende durch das Moment M belastet. Unter Verwendung der geometrisch linearen Analyse und der Theorie großer Verformungen sowie unter Vernachlässigung des Eigengewichts des Trägers sollen die maximalen Verschiebungen u_x und u_z am freien Ende bestimmt werden. Das Verifikationsbeispiel basiert auf dem von Gensichen und Lumpe vorgestellten Beispiel (siehe Literaturverweis).

Material	Stahl	Elastizitätsmodul	E	210000,000	MPa
Material	Stahl	Schubmodul	G	81000,000	MPa
Geometrie	Rohrkragträger	Länge	L	4,000	m
		Durchmesser	d	42,400	mm
		Wanddicke	t	4,000	mm
Belastung		Biegemoment	M	3,400	kNm

Kragarm mit Momentenbelastung am freien Ende

Analytische Lösung

Geometrisch lineare Analyse

Bei der geometrisch linearen Analyse kann das Problem nach der Euler-Bernoulli-Gleichung gelöst werden. Für die gegebene Geometrie, Belastung und Randbedingungen ergibt sich die maximale Durchbiegung u_z,max wie folgt:

u_{z, \max} = \frac{{ML}^{2}}{2 {EI}_{y}}

Maximale Durchbiegung – Theorie I. Ordnung

Die Verschiebung u_x,max ist bei der geometrisch linearen Analyse null.

Theorie großer Verformungen

Ein Balken wird in der Theorie großer Verformungen durch die nichtlineare Differentialgleichung beschrieben und ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

κ (x) = \frac{u_{z}'' (x)}{{[1 + (u_{z}' (x))^{2}]}^{\frac{3}{2}}} = - \frac{M}{{EI}_{y}}

Differenzgleichung der Trägerdurchbiegung

Kragarm mit Momentenbelastung am freien Ende - Theorie III. Ordnung

Der Term auf der rechten Seite ist konstant, und folglich ist auch die linke Seite, die direkt die Balkenkrümmung κ darstellt, konstant. Die einzige Kurve mit konstanter Krümmung ist ein Kreis, daher ist die Lösung dieses Problems ein Kreisbogen mit dem Radius R.

u_{x, \max} = Rsinα - L

Maximale Durchbiegung in x-Richtung – Theorie III. Ordnung

u_{z, \max} = R (1 - cosα)

Maximale Durchbiegung in z-Richtung – Theorie III. Ordnung

R ist der Radius des Kreisbogens. Der Winkel des Kreisbogens α ist gleich α=L/R.

RFEM- und RSTAB-Einstellungen

Modelliert in RFEM 5.05, RSTAB 8.05 und RFEM 6.01, RSTAB 9.01
Die Elementgröße beträgt l_FE= 0,400 m
Die Anzahl der Inkremente ist 5
Es wird ein isotropes, linear-elastisches Materialmodell verwendet
Die Schubsteifigkeit der Stäbe ist aktiviert
Die Stabteilung für große Verformungen oder die Nachkritische Analyse ist aktiviert

Ergebnisse

u_{x, max} [m]	Analytische Lösung	RFEM 6	Verhältnis	RSTAB 9	Verhältnis
Geometrisch lineare Analyse	0,000	0,000	-	0,000	-
Theorie großer Verformungen	-0,337	-0,336	0,997	-0,336	0,997

u_{z, max} [m]	Analytische Lösung	RFEM 6	Verhältnis	RSTAB 9	Verhältnis
Geometrisch lineare Analyse	1,441	1,441	1,000	1,441	1,000
Theorie großer Verformungen	1,379	1,380	1,001	1,380	1,001

u_{x, max} [m]	Analytische Lösung	RFEM 5	Verhältnis	RSTAB 8	Verhältnis
Geometrisch lineare Analyse	0,000	0,000	-	0,000	-
Theorie großer Verformungen	-0,337	-0,338	1,003	-0,337	1,000

u_{z, max} [m]	Analytische Lösung	RFEM 5	Verhältnis	RSTAB 8	Verhältnis
Geometrisch lineare Analyse	1,441	1,441	1,000	1,441	1,000
Theorie großer Verformungen	1,379	1,380	1,001	1,380	1,001

610x

15x

Verifikationsbeispiel 000052 | 1

Referenzen

LUMPE, G. and GENSICHEN, V. Evaluierung der linearen und nichtlinearen Stabstatik in Theorieund Software: Prüfbeispiele, Fehlerursachen, genaue Theorie. Ernst, 2014.

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