4053x

2024-02-28

Wspornik z obciążeniem momentem na swobodnym końcu – Analiza konstrukcji

Opis

Wspornik jest obciążony momentem M na swoim swobodnym końcu. Stosując analizę geometrycznie liniową, analizę dużych deformacji i pomijając ciężar własny belki, należy wyznaczyć maksymalne ugięcia u_x i u_z na swobodnym końcu. Przykład weryfikacyjny oparty jest na przykładzie przedstawionym przez Gensichena i Lumpe (patrz odnośnik).

Materiał	Stal	Moduł sprężystości	E	210000,000	MPa
Materiał	Stal	Moduł ścinania	G	81000,000	MPa
Geometria	Wspornik rurowy	Długość	L	4,000	m
		Średnica	d	42,400	mm
		Grubość ścianki	t	4,000	mm
Obciążenie		Moment zginający	M	3,400	kNm

Wspornik z obciążeniem momentem na wolnym końcu

Rozwiązanie analityczne

Analiza geometrycznie liniowa

Rozpatrując analizę geometrycznie liniową, problem można rozwiązać zgodnie z równaniem Eulera-Bernoulliego. Dla zadanej geometrii, obciążenia i warunków brzegowych otrzymuje się następujące maksymalne ugięcie u_z,max:

u_{z, \max} = \frac{{ML}^{2}}{2 {EI}_{y}}

Maksymalne ugięcie - geometrycznie liniowa analiza

Ugięcie u_x,max przy uwzględnieniu analizy geometrycznie liniowej wynosi zero.

Analiza dużych deformacji

Belka w analizie dużych deformacji jest opisana nieliniowym równaniem różniczkowym i zilustrowana na poniższym rysunku.

κ (x) = \frac{u_{z}'' (x)}{{[1 + (u_{z}' (x))^{2}]}^{\frac{3}{2}}} = - \frac{M}{{EI}_{y}}

Równanie różniczkowe ugięcia belki

Wspornik z obciążeniem momentem na wolnym końcu - analiza dużych deformacji

Wyraz po prawej stronie jest stały, a zatem lewa strona, która jest bezpośrednio krzywizną belki κ, jest również stała. Jedyną krzywą o stałej krzywiźnie jest okrąg, dlatego rozwiązaniem tego problemu jest łuk okręgu o promieniu R.

u_{x, \max} = Rsinα - L

Maksymalne ugięcie w kierunku x - analiza dużych deformacji

u_{z, \max} = R (1 - cosα)

Maksymalne ugięcie w kierunku z - Analiza dużych deformacji

R jest promieniem łuku okręgu. Kąt łuku okręgu α jest równy α=L/R.

Ustawienia RFEM i RSTAB

Modelowane w RFEM 5.05, RSTAB 8.05 oraz RFEM 6.01, RSTAB 9.01
Rozmiar elementu wynosi l_FE= 0,400 m
Liczba przyrostów wynosi 5
Użyto izotropowego, liniowo-sprężystego modelu materiału
Sztywność ścinania prętów jest aktywna
Podział pręta dla analizy dużych deformacji lub analizy pokrytycznej jest aktywny

Wyniki

u_{x, max} [m]	Rozwiązanie analityczne	RFEM 6	Współczynnik	RSTAB 9	Współczynnik
Analiza geometrycznie liniowa	0,000	0,000	-	0,000	-
Analiza dużych deformacji	-0,337	-0,336	0,997	-0,336	0,997

u_{z, max} [m]	Rozwiązanie analityczne	RFEM 6	Współczynnik	RSTAB 9	Współczynnik
Analiza geometrycznie liniowa	1,441	1,441	1,000	1,441	1,000
Analiza dużych deformacji	1,379	1,380	1,001	1,380	1,001

u_{x, max} [m]	Rozwiązanie analityczne	RFEM 5	Współczynnik	RSTAB 8	Współczynnik
Analiza geometrycznie liniowa	0,000	0,000	-	0,000	-
Analiza dużych deformacji	-0,337	-0,338	1,003	-0,337	1,000

u_{z, max} [m]	Rozwiązanie analityczne	RFEM 5	Współczynnik	RSTAB 8	Współczynnik
Analiza geometrycznie liniowa	1,441	1,441	1,000	1,441	1,000
Analiza dużych deformacji	1,379	1,380	1,001	1,380	1,001

610x

15x

Przykład weryfikacji 000052 | 1

Odniesienia

LUMPE, G. und GENSICHEN, V. Evaluierung der linearen und nichtlinearen Stabstatik in Theorie und Software: Prüfbeispiele, Fehlerursachen, genaue Theorie. Ernst, 2014.

Gensichen

;