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2024-02-28

VE0052 | Mensola con Carico di Momento all'Estremità Libera – Analisi Strutturale

Descrizione

Una mensola è caricata dal momento M alla sua estremità libera. Utilizzando l'analisi geometricamente lineare e l'analisi in grandi deformazioni e trascurando il peso proprio della trave, determinare le deformazioni massime u_x e u_z all'estremità libera. L'esempio di verifica è basato sull'esempio introdotto da Gensichen e Lumpe (vedere il riferimento).

Materiale	Acciaio	Modulo di Elasticità	E	210000.000	MPa
Materiale	Acciaio	Modulo di Taglio	G	81000.000	MPa
Geometria	Mensola Tubolare	Lunghezza	L	4.000	m
		Diametro	d	42.400	mm
		Spessore della parete	t	4.000	mm
Carico		Momento Flettente	M	3.400	kNm

Sbalzo con carico del momento all'estremità libera

Soluzione Analitica

Analisi Geometricamente Lineare

Considerando l'analisi geometricamente lineare, il problema può essere risolto secondo l'equazione di Eulero-Bernoulli. Per la geometria, il carico e le condizioni al contorno date, la deformazione massima risultante u_z,max è la seguente:

u_{z, \max} = \frac{{ML}^{2}}{2 {EI}_{y}}

Inflessione massima - Analisi geometricamente lineare

La deformazione u_x,max considerando l'analisi geometricamente lineare è zero.

Analisi in Grandi Deformazioni

Una trave nell'analisi in grandi deformazioni è descritta dall'equazione differenziale non lineare ed è illustrata nella figura seguente.

κ (x) = \frac{u_{z}'' (x)}{{[1 + (u_{z}' (x))^{2}]}^{\frac{3}{2}}} = - \frac{M}{{EI}_{y}}

Equazione differenziale dell'inflessione della trave

Sbalzo con carico del momento all'estremità libera - Analisi di grandi spostamenti

Il termine sul lato destro è costante e di conseguenza il lato sinistro, che è direttamente la curvatura della trave κ, è anch'esso costante. L'unica curva che ha curvatura costante è un cerchio, pertanto, la soluzione a questo problema è un arco di cerchio di raggio R.

u_{x, \max} = Rsinα - L

Inflessione massima in direzione x - Analisi di grandi spostamenti

u_{z, \max} = R (1 - cosα)

Inflessione massima in direzione z - Analisi di grandi spostamenti

R è il raggio dell'arco circolare. L'angolo dell'arco circolare α è uguale a α=L/R.

Impostazioni di RFEM e RSTAB

Modellato in RFEM 5.05, RSTAB 8.05 e RFEM 6.01, RSTAB 9.01
La dimensione dell'elemento è l_FE= 0.400 m
Il numero di incrementi è 5
Viene utilizzato il modello di materiale elastico lineare isotropo
La rigidezza a taglio delle aste è attivata
La divisione dell'asta per analisi in grandi deformazioni o post-critica è attivata

Risultati

u_{x, max} [m]	Soluzione Analitica	RFEM 6	Rapporto	RSTAB 9	Rapporto
Analisi Geometricamente Lineare	0.000	0.000	-	0.000	-
Analisi in Grandi Deformazioni	-0.337	-0.336	0.997	-0.336	0.997

u_{z, max} [m]	Soluzione Analitica	RFEM 6	Rapporto	RSTAB 9	Rapporto
Analisi Geometricamente Lineare	1.441	1.441	1.000	1.441	1.000
Analisi in Grandi Deformazioni	1.379	1.380	1.001	1.380	1.001

u_{x, max} [m]	Soluzione Analitica	RFEM 5	Rapporto	RSTAB 8	Rapporto
Analisi Geometricamente Lineare	0.000	0.000	-	0.000	-
Analisi in Grandi Deformazioni	-0.337	-0.338	1.003	-0.337	1.000

u_{z, max} [m]	Soluzione Analitica	RFEM 5	Rapporto	RSTAB 8	Rapporto
Analisi Geometricamente Lineare	1.441	1.441	1.000	1.441	1.000
Analisi in Grandi Deformazioni	1.379	1.380	1.001	1.380	1.001

610x

15x

Esempio di verifica 000052 | 1

Bibliografia

LUMPE, G. e GENSICHEN, V. Valutazione dell'Analisi strutturale delle aste lineare e non lineare nella Teoria e nel Software: esempi di verifica, cause di errore, Teoria precisa. Ernst, 2014.

Gensichen

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