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2024-01-15

VE0052 | Sbalzo con carico del momento all'estremità libera

Descrizione

Uno sbalzo è caricato dal momento M alla sua estremità libera. Utilizzando l'analisi geometricamente lineare e l'analisi a grandi spostamenti e trascurando il peso proprio della trave's, determinare le inflessioni massime u_x e u_z all'estremità libera. L'esempio di verifica si basa sull'esempio introdotto da Gensichen e Lumpe (vedere il riferimento).

Materiale	Acciaio	Modulo di elasticità	E	210000,000	MPa
Materiale	Acciaio	Modulo di taglio	[LinkToImage01]	81000,000	MPa
Geometria	Cantilever tubolare	Durata	[LinkToImage01]	4,000	m
		Diametro	d	42,400	mm
		Spessore parete	t	4,000	mm
Carico		Momento flettente	M	3,400	kNm

Sbalzo con carico del momento all'estremità libera

Soluzione analitica

Geometricamente lineare analisi

Considerando l'analisi geometricamente lineare, il problema può essere risolto secondo l'equazione di Eulero-Bernoulli. Per la geometria, il carico e le condizioni al contorno date, l'inflessione massima risultante u_z,max è la seguente:

u_{z, \max} = \frac{{ML}^{2}}{2 {EI}_{y}}

Inflessione massima - Analisi geometricamente lineare

L'inflessione u_x,max considerando l'analisi geometricamente lineare è zero.

Analisi di grandi spostamenti generalizzati

Una trave nell'analisi a grandi spostamenti è descritta dall'equazione differenziale non lineare ed è illustrata nella figura seguente.

κ (x) = \frac{u_{z}'' (x)}{{[1 + (u_{z}' (x))^{2}]}^{\frac{3}{2}}} = - \frac{M}{{EI}_{y}}

Equazione differenziale dell'inflessione della trave

Sbalzo con carico del momento all'estremità libera - Analisi di grandi spostamenti

Il termine sul lato destro è costante e di conseguenza anche il lato sinistro, che è direttamente la curvatura della trave κ, è costante. L'unica curva che ha una curvatura costante è un cerchio, quindi la soluzione a questo problema è un arco di cerchio di raggio R.

u_{x, \max} = Rsinα - L

Inflessione massima in direzione x - Analisi di grandi spostamenti

u_{z, \max} = R (1 - cosα)

Inflessione massima in direzione z - Analisi di grandi spostamenti

R è il raggio dell'arco di cerchio. L'angolo dell'arco di cerchio α è uguale a α=L/R.

Impostazioni di RFEM e RSTAB

Modellato in RFEM 5.05, RSTAB 8.05 e RFEM 6.01, RSTAB 9.01
La dimensione dell'elemento è l_FE = 0,400 m
Il numero di incrementi è 5
Viene utilizzato il modello di materiale elastico lineare isotropo
La rigidezza a taglio delle aste è attivata
La divisione dell'asta per grandi spostamenti o analisi post-critica è attivata

Risultati

u_{x, max} [m]	Soluzione analitica	RFEM 6	Rapporto	RSTAB 9	Rapporto
Geometricamente lineare analisi	0,000	0,000	-	0,000	-
Analisi a grandi spostamenti	-0,337	-0,336	0,997	-0,336	0,997

u_{z, max} [m]	Soluzione analitica	RFEM 6	Rapporto	RSTAB 9	Rapporto
Geometricamente lineare analisi	1,441	1,441	1,000	1,441	1,000
Analisi a grandi spostamenti	1,379	1,380	1,001	1,380	1,001

u_{x, max} [m]	Soluzione analitica	RFEM 5	Rapporto	RSTAB 8	Rapporto
Geometricamente lineare analisi	0,000	0,000	-	0,000	-
Analisi a grandi spostamenti	-0,337	-0,338	1,003	-0,337	1,000

u_{z, max} [m]	Soluzione analitica	RFEM 5	Rapporto	RSTAB 8	Rapporto
Geometricamente lineare analisi	1,441	1,441	1,000	1,441	1,000
Analisi a grandi spostamenti	1,379	1,380	1,001	1,380	1,001

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Esempio di verifica 000052 | 1

Bibliografia

LUMPE, G. e GENSITEN, V. Valutazione dell'analisi lineare e non lineare di aste in teoria e software: Esempi di test, cause di rottura, teoria dettagliata. Ernesto.

Gensichen

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