1016x

15.1.2024

VE0052 | Konzola s momentovým zatížením na volném konci

Popis

Konzola je na svém volném konci zatížena momentem M. Pomocí geometricky lineární analýzy a analýzy velkých deformací bez zanedbání vlastní tíhy nosníku stanovíme maximální průhyby u_x a u_z na volném konci. Verifikační příklad je založen na příkladu, který představili Gensichen a Lumpe (viz odkaz).

Materiál	Ocel	Modul pružnosti	E	210000,000	MPa
Materiál	Ocel	Smykový modul	G	81000,000	MPa
Geometrie	Konzola z trubek	obvod	L	4,000	m
		Průměr	d	42,400	mm
		Tloušťka stěny	t	4,000	mm
Zatížení		Ohybový moment	W	3,400	kNm

Konzola s momentovým zatížením na volném konci

Analytické řešení

Teorie I. řádu (geometricky lineární výpočet)

Při použití geometricky lineární analýzy lze problém vyřešit pomocí Euler-Bernoulliho rovnice. Pro danou geometrii, zatížení a okrajové podmínky je maximální průhyb u_z,max následující:

u_{z, \max} = \frac{{ML}^{2}}{2 {EI}_{y}}

Maximální průhyb - Geometricky lineární analýza

Průhyb u_x,max je při zohlednění geometricky lineárního výpočtu nulový.

Analýza velkých deformací

Nosník v analýze velkých deformací je popsán pomocí nelineární diferenciální rovnice a je znázorněn na následujícím obrázku.

κ (x) = \frac{u_{z}'' (x)}{{[1 + (u_{z}' (x))^{2}]}^{\frac{3}{2}}} = - \frac{M}{{EI}_{y}}

Rozdílová rovnice průhybu nosníku

Konzola s momentovým zatížením na volném konci - analýza velkých deformací

Člen na pravé straně je konstantní, a proto je konstantní také levá strana, která je přímo zakřivením nosníku κ. Jedinou křivkou, která má konstantní zakřivení, je kružnice, a proto je řešením tohoto problému kruhový oblouk o poloměru R.

u_{x, \max} = Rsinα - L

Maximální průhyb ve směru x - analýza velkých deformací

u_{z, \max} = R (1 - cosα)

Maximální průhyb ve směru z - analýza velkých deformací

R je poloměr kruhového oblouku. Úhel kruhového oblouku α se rovná α=L/R.

Nastavení programů RFEM a RSTAB

Modelováno v programech RFEM 5.05, RSTAB 8.05 a RFEM 6.01, RSTAB 9.01
Velikost prvku je l_FE = 0,400 m
Počet přírůstků je 5
Je použit izotropní lineárně elastický materiálový model
Smyková tuhost prutů je aktivována
Je aktivováno dělení prutu pro analýzu velkých deformací nebo postkritickou analýzu

Výsledky

u_{x, max} [m]	Analytické řešení	RFEM 6	Poměrná hodnota	RSTAB 9	Poměrná hodnota
Teorie I. řádu (geometricky lineární výpočet)	0,000	0,000	-	0,000	-
analýza velkých deformací	-0,337	-0,336	0,997	-0,336	0,997

u_{z, max} [m]	Analytické řešení	RFEM 6	Poměrná hodnota	RSTAB 9	Poměrná hodnota
Teorie I. řádu (geometricky lineární výpočet)	1,441	1,441	1,000	1,441	1,000
analýza velkých deformací	1,379	1,380	1,001	1,380	1,001

u_{x, max} [m]	Analytické řešení	RFEM 5	Poměrná hodnota	RSTAB 8	Poměrná hodnota
Teorie I. řádu (geometricky lineární výpočet)	0,000	0,000	-	0,000	-
analýza velkých deformací	-0,337	-0,338	1,003	-0,337	1,000

u_{z, max} [m]	Analytické řešení	RFEM 5	Poměrná hodnota	RSTAB 8	Poměrná hodnota
Teorie I. řádu (geometricky lineární výpočet)	1,441	1,441	1,000	1,441	1,000
analýza velkých deformací	1,379	1,380	1,001	1,380	1,001

406x

Verifikační příklad 000052 | 1

Reference

LUMPE, G. a GENSITEN, V. Vyhodnocení lineární a nelineární analýzy prutů v teorii a v softwaru: Testovací příklady, příčiny selhání, detailní teorie. Ernest.

Gensichen

;