4053x

28.2.2024

VE0052 | Vetknutý nosník se zatížením momentem na volném konci – Analýza konstrukcí

Popis

Konzola je zatížena momentem M na svém volném konci. Pomocí geometricky lineární analýzy a analýzy velkých deformací a se zanedbáním vlastní tíhy nosníku určete maximální průhyby u_x a u_z na volném konci. Tento ověřovací příklad vychází z příkladu, který představili Gensichen a Lumpe (viz odkaz).

Materiál	Ocel	Modul pružnosti	E	210000,000	MPa
Materiál	Ocel	Modul pružnosti ve smyku	G	81000,000	MPa
Geometrie	Trubková konzola	Délka	L	4,000	m
		Průměr	d	42,400	mm
		Tloušťka stěny	t	4,000	mm
Zatížení		Ohybový moment	M	3,400	kNm

Konzola s momentovým zatížením na volném konci

Analytické řešení

Geometricky lineární analýza

Při použití geometricky lineární analýzy lze tento problém vyřešit podle Euler-Bernoulliho rovnice. Pro danou geometrii, zatížení a okrajové podmínky je výsledný maximální průhyb u_z,max následující:

u_{z, \max} = \frac{{ML}^{2}}{2 {EI}_{y}}

Maximální průhyb - Geometricky lineární analýza

Průhyb u_x,max při použití geometricky lineární analýzy je nulový.

Analýza velkých deformací

Nosník v analýze velkých deformací je popsán nelineární diferenciální rovnicí a je znázorněn na následujícím obrázku.

κ (x) = \frac{u_{z}'' (x)}{{[1 + (u_{z}' (x))^{2}]}^{\frac{3}{2}}} = - \frac{M}{{EI}_{y}}

Rozdílová rovnice průhybu nosníku

Konzola s momentovým zatížením na volném konci - analýza velkých deformací

Člen na pravé straně je konstantní, a proto je i levá strana, která je přímo křivostí nosníku κ, také konstantní. Jedinou křivkou, která má konstantní křivost, je kružnice, proto je řešením tohoto problému kruhový oblouk o poloměru R.

u_{x, \max} = Rsinα - L

Maximální průhyb ve směru x - analýza velkých deformací

u_{z, \max} = R (1 - cosα)

Maximální průhyb ve směru z - analýza velkých deformací

R je poloměr kruhového oblouku. Úhel kruhového oblouku α je roven α=L/R.

Nastavení v programech RFEM a RSTAB

Vymodelováno v RFEM 5.05, RSTAB 8.05 a RFEM 6.01, RSTAB 9.01
Velikost prvku je l_FE= 0,400 m
Počet přírůstků je 5
Je použit izotropní lineárně elastický materiálový model
Smyková tuhost prutů je zohledněna
Dělení prutů pro analýzu velkých deformací nebo postkritickou analýzu je aktivováno

Výsledky

u_{x, max} [m]	Analytické řešení	RFEM 6	Poměr	RSTAB 9	Poměr
Geometricky lineární analýza	0,000	0,000	-	0,000	-
Analýza velkých deformací	-0,337	-0,336	0,997	-0,336	0,997

u_{z, max} [m]	Analytické řešení	RFEM 6	Poměr	RSTAB 9	Poměr
Geometricky lineární analýza	1,441	1,441	1,000	1,441	1,000
Analýza velkých deformací	1,379	1,380	1,001	1,380	1,001

u_{x, max} [m]	Analytické řešení	RFEM 5	Poměr	RSTAB 8	Poměr
Geometricky lineární analýza	0,000	0,000	-	0,000	-
Analýza velkých deformací	-0,337	-0,338	1,003	-0,337	1,000

u_{z, max} [m]	Analytické řešení	RFEM 5	Poměr	RSTAB 8	Poměr
Geometricky lineární analýza	1,441	1,441	1,000	1,441	1,000
Analýza velkých deformací	1,379	1,380	1,001	1,380	1,001

610x

15x

Verifikační příklad 000052 | 1

Reference

LUMPE, G. und GENSICHEN, V. Evaluierung der linearen und nichtlinearen Stabstatik in Theorie und Software: Prüfbeispiele, Fehlerursachen, genaue Theorie. Ernst, 2014.

Gensichen

;