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2024-02-28

VE0052 | Viga em Consola com Carga de Momento na Extremidade Livre – Análise Estrutural

Descrição

Uma viga em consola é carregada por um momento M na sua extremidade livre. Utilizando a análise geometricamente linear e a análise de grandes deformações e desprezando o peso próprio da viga, determine os deslocamentos máximos u_x e u_z na extremidade livre. O exemplo de verificação é baseado no exemplo introduzido por Gensichen e Lumpe (ver referência).

Material	Aço	Módulo de Elasticidade	E	210000.000	MPa
Material	Aço	Módulo de Corte	G	81000.000	MPa
Geometria	Viga em Consola Tubular	Comprimento	L	4.000	m
		Diâmetro	d	42.400	mm
		Espessura da Parede	t	4.000	mm
Carga		Momento Fletor	M	3.400	kNm

Consola com carregamento de momento na extremidade livre

Solução Analítica

Análise Geometricamente Linear

Considerando a análise geometricamente linear, o problema pode ser resolvido de acordo com a equação de Euler-Bernoulli. Para a geometria, carregamento e condições de fronteira dadas, o deslocamento máximo resultante u_z,max é o seguinte:

u_{z, \max} = \frac{{ML}^{2}}{2 {EI}_{y}}

Flecha máxima – Análise geometricamente linear

O deslocamento u_x,max considerando a análise geometricamente linear é zero.

Análise de Grandes Deformações

Uma viga na análise de grandes deformações é descrita pela equação diferencial não linear e é ilustrada na figura seguinte.

κ (x) = \frac{u_{z}'' (x)}{{[1 + (u_{z}' (x))^{2}]}^{\frac{3}{2}}} = - \frac{M}{{EI}_{y}}

Equação diferencial da flecha da viga

Consola com carregamento de momento na extremidade livre – Análise de grandes deformações

O termo do lado direito é constante e, consequentemente, o lado esquerdo, que é diretamente a curvatura da viga κ, também é constante. A única curva que tem curvatura constante é um círculo, portanto, a solução para este problema é um arco de círculo de raio R.

u_{x, \max} = Rsinα - L

Flecha máxima na direção x – Análise de grandes deformações

u_{z, \max} = R (1 - cosα)

Deslocamento máximo na direção z – Análise de grandes deformações

R é o raio do arco circular. O ângulo do arco circular α é igual a α=L/R.

Configurações do RFEM e RSTAB

Modelado no RFEM 5.05, RSTAB 8.05 e RFEM 6.01, RSTAB 9.01
O tamanho do elemento é l_FE= 0.400 m
O número de incrementos é 5
É utilizado um modelo de material elástico linear isotrópico
A rigidez ao corte das barras está ativada
A divisão de barras para análise de grandes deformações ou pós-crítica está ativada

Resultados

u_{x, max} [m]	Solução Analítica	RFEM 6	Rácio	RSTAB 9	Rácio
Análise Geometricamente Linear	0.000	0.000	-	0.000	-
Análise de Grandes Deformações	-0.337	-0.336	0.997	-0.336	0.997

u_{z, max} [m]	Solução Analítica	RFEM 6	Rácio	RSTAB 9	Rácio
Análise Geometricamente Linear	1.441	1.441	1.000	1.441	1.000
Análise de Grandes Deformações	1.379	1.380	1.001	1.380	1.001

u_{x, max} [m]	Solução Analítica	RFEM 5	Rácio	RSTAB 8	Rácio
Análise Geometricamente Linear	0.000	0.000	-	0.000	-
Análise de Grandes Deformações	-0.337	-0.338	1.003	-0.337	1.000

u_{z, max} [m]	Solução Analítica	RFEM 5	Rácio	RSTAB 8	Rácio
Análise Geometricamente Linear	1.441	1.441	1.000	1.441	1.000
Análise de Grandes Deformações	1.379	1.380	1.001	1.380	1.001

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Exemplo de verificação 000052 | 1

Referências

LUMPE, G. e GENSICHEN, V. Avaliação da verificação de barras linear e não linear na teoria e software: exemplos de verificação, causas de erros, teoria exata. Ernst, 2014.

Gensichen

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