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28.02.2024

Porte-à-faux avec chargement par moment à l'extrémité libre – Analyse structurelle

Description

Une console est chargée par le moment M à son extrémité libre. En utilisant l'analyse géométriquement linéaire et l'analyse en grands déplacements et en négligeant le poids propre de la poutre, déterminez les déflexions maximales u_x et u_z à l'extrémité libre. L'exemple de vérification est basé sur l'exemple introduit par Gensichen et Lumpe (voir la référence).

Matériau	Acier	Module d'élasticité	E	210000,000	MPa
Matériau	Acier	Module de cisaillement	G	81000,000	MPa
Géométrie	Console tubulaire	Longueur	L	4,000	m
		Diamètre	d	42,400	mm
		Épaisseur de paroi	t	4,000	mm
Charge		Moment de flexion	M	3,400	kNm

Porte-à-faux avec une charge de moment à l'extrémité libre

Solution analytique

Analyse géométriquement linéaire

En considérant l'analyse géométriquement linéaire, le problème peut être résolu selon l'équation d'Euler-Bernoulli. Pour la géométrie, le chargement et les conditions aux limites donnés, la déflexion maximale résultante u_z,max est la suivante :

u_{z, \max} = \frac{{ML}^{2}}{2 {EI}_{y}}

Flèche maximale - Analyse géométriquement linéaire

La déflexion u_x,max en considérant l'analyse géométriquement linéaire est nulle.

Analyse en grands déplacements

Une poutre dans l'analyse en grands déplacements est décrite par l'équation différentielle non linéaire et elle est illustrée dans la figure suivante.

κ (x) = \frac{u_{z}'' (x)}{{[1 + (u_{z}' (x))^{2}]}^{\frac{3}{2}}} = - \frac{M}{{EI}_{y}}

Équation différentielle de la flèche de poutre

Porte-à-faux avec un moment de charge à l'extrémité libre - Analyse des grandes déformations

Le terme du côté droit est constant et par conséquent le côté gauche, qui est directement la courbure de la poutre κ, est également constant. La seule courbe qui a une courbure constante est un cercle, donc la solution à ce problème est un arc de cercle de rayon R.

u_{x, \max} = Rsinα - L

Flèche maximale dans la direction x - Analyse des grandes déformations

u_{z, \max} = R (1 - cosα)

Flèche maximale dans la direction z - Analyse des grandes déformations

R est le rayon de l'arc de cercle. L'angle de l'arc de cercle α est égal à α=L/R.

Paramètres de RFEM et RSTAB

Modélisé dans RFEM 5.05, RSTAB 8.05 et RFEM 6.01, RSTAB 9.01
La taille de l'élément est l_FE= 0,400 m
Le nombre d'incréments est 5
Le modèle de matériau élastique linéaire isotrope est utilisé
La rigidité de cisaillement des barres est activée
La division de barre pour l'analyse en grands déplacements ou post-critique est activée

Résultats

u_{x, max} [m]	Solution analytique	RFEM 6	Ratio	RSTAB 9	Ratio
Analyse géométriquement linéaire	0,000	0,000	-	0,000	-
Analyse en grands déplacements	-0,337	-0,336	0,997	-0,336	0,997

u_{z, max} [m]	Solution analytique	RFEM 6	Ratio	RSTAB 9	Ratio
Analyse géométriquement linéaire	1,441	1,441	1,000	1,441	1,000
Analyse en grands déplacements	1,379	1,380	1,001	1,380	1,001

u_{x, max} [m]	Solution analytique	RFEM 5	Ratio	RSTAB 8	Ratio
Analyse géométriquement linéaire	0,000	0,000	-	0,000	-
Analyse en grands déplacements	-0,337	-0,338	1,003	-0,337	1,000

u_{z, max} [m]	Solution analytique	RFEM 5	Ratio	RSTAB 8	Ratio
Analyse géométriquement linéaire	1,441	1,441	1,000	1,441	1,000
Analyse en grands déplacements	1,379	1,380	1,001	1,380	1,001

610x

15x

Exemple de vérification 000052 | 1

Références

LUMPE, G. et GENSICHEN, V. Évaluation de la statique linéaire et non linéaire des barres en théorie et logiciel : exemples de vérification, causes d'erreurs, théorie exacte. Ernst, 2014.

Gensichen

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