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15.01.2024

VE0052 | Porte-à-faux avec une charge de moment à l'extrémité libre

Description du projet

Un porte-à-faux est chargé par le moment M à son extrémité libre. Déterminez les flèches maximales u_x et u_z à l'extrémité libre à l'aide de la théorie du premier ordre, de l'analyse des grandes déformations et en négligeant le poids propre de la poutre '. L'exemple de vérification est basé sur l'exemple introduit par Gensichen et Lumpe (voir la référence).

Matériau	Acier	Module d'élasticité	E	210000,000	MPa
Matériau	Acier	Module de cisaillement	G	81000,000	MPa
Géométrie	Porte-à-faux tubulaire	Périmètre	L	4,000	m
Diamètre		d	42,400	mm
Épaisseur de voile		t	4,000	mm
Import	Moment fléchissant	M	3,400	kNm

Porte-à-faux avec une charge de moment à l'extrémité libre

Solution analytique

Analyse géométriquement linéaire

En considérant la théorie du premier ordre, le problème peut être résolu grâce à l’équation d’Euler-Bernoulli. Pour la géométrie, les charges et les conditions aux limites données, la flèche maximale résultante u_z,max est la suivante:

u_{z, \max} = \frac{{ML}^{2}}{2 {EI}_{y}}

Flèche maximale - Analyse géométriquement linéaire

La flèche u_{x, max en} considérant l'analyse géométriquement linéaire est nulle.

analyse des grandes déformations

Dans l'analyse des grandes déformations, une poutre est décrite par une équation différentielle non linéaire et illustrée dans la figure suivante.

κ (x) = \frac{u_{z}'' (x)}{{[1 + (u_{z}' (x))^{2}]}^{\frac{3}{2}}} = - \frac{M}{{EI}_{y}}

Équation différentielle de la flèche de poutre

Porte-à-faux avec un moment de charge à l'extrémité libre - Analyse des grandes déformations

Le terme du côté droit est constant et par conséquent le côté gauche, qui est directement la courbure de la poutre κ, est également constant. La seule courbe à courbure constante est un cercle, la solution à ce problème consiste donc à utiliser un arc de cercle de rayon R.

u_{x, \max} = Rsinα - L

Flèche maximale dans la direction x - Analyse des grandes déformations

u_{z, \max} = R (1 - cosα)

Flèche maximale dans la direction z - Analyse des grandes déformations

R = rayon de l'arc. L'angle de l'arc de cercle α est égal à α=L/R.

Paramètres de RFEM et RSTAB

Modélisé dans RFEM 5.05, RSTAB 8.05 et RFEM 6.01, RSTAB 9.01
La taille de l'élément est l_EF = 0,400 m
Le nombre d'incréments est de 5
Le modèle de matériau isotrope linéaire élastique est utilisé
La rigidité de cisaillement des barres est activée
La division de barre pour l'analyse des grandes déformations ou post-critique est activée

résultats

u_{x, max} [m]	Solution analytique	RFEM6	Ratio	RSTAB 9	Ratio
Analyse géométriquement linéaire	0,000	0,000	-	0,000	-
analyse des grandes déformations	-0,337	-0,336	0,997	-0,336	0,997

_{uz, max} [m]	Solution analytique	RFEM6	Ratio	RSTAB 9	Ratio
Analyse géométriquement linéaire	1,441	1,441	1,000	1,441	1,000
analyse des grandes déformations	1,379	1,380	1,001	1,380	1,001

u_{x, max} [m]	Solution analytique	RFEM5	Ratio	RSTAB 8	Ratio
Analyse géométriquement linéaire	0,000	0,000	-	0,000	-
analyse des grandes déformations	-0,337	-0,338	1,003	-0,337	1,000

_{uz, max} [m]	Solution analytique	RFEM5	Ratio	RSTAB 8	Ratio
Analyse géométriquement linéaire	1,441	1,441	1,000	1,441	1,000
analyse des grandes déformations	1,379	1,380	1,001	1,380	1,001

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Exemple de vérification 000052 | 1

Références

LUMPE, G. et GENSITEN, V. Évaluation de l'analyse linéaire et non linéaire des barres en théorie et en logiciel : Exemples de test, causes de l'échec, théorie détaillée. Ernesto.

Gensichen

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