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2024-02-28

悬臂梁自由端受弯矩作用 – 结构分析

描述

一根悬臂梁在其自由端承受弯矩 M。使用几何线性分析和三阶理论，并忽略梁的自重，确定自由端处的最大挠度 u_x 和 u_z。该验证示例基于 Gensichen 和 Lumpe 介绍的示例（参见参考文献）。

材料	钢	弹性模量	E	210000.000	MPa
材料	钢	剪切模量	G	81000.000	MPa
几何尺寸	管状悬臂梁	长度	L	4.000	m
		直径	d	42.400	mm
		墙厚	t	4.000	mm
荷载		弯矩	M	3.400	kNm

自由端受弯矩荷载作用的悬臂梁

自由端受弯矩荷载作用的悬臂梁

解析解

几何线性分析

考虑几何线性分析，该问题可以根据欧拉-伯努利梁方程求解。对于给定的几何尺寸、荷载和边界条件，得到的最大挠度 u_z,max 如下：

u_{z, \max} = \frac{{ML}^{2}}{2 {EI}_{y}}

最大挠度 - 几何线性分析

考虑几何线性分析时，挠度 u_x,max 为零。

三阶理论

三阶理论中的梁由非线性微分方程描述，如下图所示。

κ (x) = \frac{u_{z}'' (x)}{{[1 + (u_{z}' (x))^{2}]}^{\frac{3}{2}}} = - \frac{M}{{EI}_{y}}

梁挠度的微分方程

悬臂梁自由端弯矩荷载分析 - 大变形分析

悬臂梁自由端弯矩荷载分析 - 大变形分析

右侧项为常数，因此左侧项，即梁的曲率 κ，也是常数。唯一具有恒定曲率的曲线是圆，因此，该问题的解是一个半径为 R 的圆弧。

u_{x, \max} = Rsinα - L

x 方向最大挠度 – 大变形分析

u_{z, \max} = R (1 - cosα)

z 方向最大挠度 – 大型变形分析

R 是圆弧的半径。圆弧的角度 α 等于 α=L/R。

RFEM 和 RSTAB 设置

在 RFEM 5.05、RSTAB 8.05 和 RFEM 6.01、RSTAB 9.01 中建模
单元尺寸为 l_FE= 0.400 m
增量步数为 5
使用各向同性线弹性材料模型
激活杆件的剪切刚度
激活三阶理论或后屈曲分析的杆件分段

结果

u_{x, max} [m]	解析解	RFEM 6	比值	RSTAB 9	比值
几何线性分析	0.000	0.000	-	0.000	-
三阶理论	-0.337	-0.336	0.997	-0.336	0.997

u_{z, max} [m]	解析解	RFEM 6	比值	RSTAB 9	比值
几何线性分析	1.441	1.441	1.000	1.441	1.000
三阶理论	1.379	1.380	1.001	1.380	1.001

u_{x, max} [m]	解析解	RFEM 5	比值	RSTAB 8	比值
几何线性分析	0.000	0.000	-	0.000	-
三阶理论	-0.337	-0.338	1.003	-0.337	1.000

u_{z, max} [m]	解析解	RFEM 5	比值	RSTAB 8	比值
几何线性分析	1.441	1.441	1.000	1.441	1.000
三阶理论	1.379	1.380	1.001	1.380	1.001

验证示例000052 | 1

610x

15x

验证示例000052 | 1

参考

LUMPE, G. 和 GENSICHEN, V. 线性和非线性杆件静力学的理论与软件评估：测试案例、误差原因、精确理论。Ernst，2014。

Gensichen

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