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008852

2024-01-15

VE0052 | 自由端受弯矩荷载作用的悬臂梁

说明

在悬臂自由端施加弯矩 M 通过三阶分析和大变形分析，忽略梁'自重，自由端的最大挠度 u_x和 u_z 。验算示例是基于 Gensichen 和 Lumpe 提出的示例（参见参考资料）。

材料	钢	弹性模量	E	210000,000	MPa
材料	钢	剪切模量	G	81000,000	MPa
几何尺寸	圆管悬臂	周长	l	4,000	m
		直径	d	42,400	mm
		墙厚度	t	4,000	mm
荷载		弯矩	M	3,400	kNm

自由端受弯矩荷载作用的悬臂梁

自由端受弯矩荷载作用的悬臂梁

解析解

一阶分析(几何线性)

对于几何线性分析，可以按照欧拉-伯努利方程进行求解。对于给定的几何形状、荷载和边界条件，最大挠度 u_z,max的计算结果如下：

u_{z, \max} = \frac{{ML}^{2}}{2 {EI}_{y}}

最大挠度 - 几何线性分析

考虑线性分析的挠度 u_x,max为零。

大变形分析

梁在进行大变形分析时，可以通过非线性微分方程描述，如下图所示。

κ (x) = \frac{u_{z}'' (x)}{{[1 + (u_{z}' (x))^{2}]}^{\frac{3}{2}}} = - \frac{M}{{EI}_{y}}

梁挠度的微分方程

悬臂梁自由端弯矩荷载分析 - 大变形分析

悬臂梁自由端弯矩荷载分析 - 大变形分析

表格右侧的项是常数，左侧的曲率 ε 也是常数。圆是一个恒定曲率的曲线，因此该问题的解就是半径为 R 的圆弧。

u_{x, \max} = Rsinα - L

x 方向最大挠度 – 大变形分析

u_{z, \max} = R (1 - cosα)

z 方向最大挠度 – 大型变形分析

R 是圆弧的半径。圆弧的角度 α 等于 α=L/R。

RFEM 和 RSTAB 设置

在RFEM 5.05、RSTAB 8.05 和 RFEM 6.01、RSTAB 9.01 中建模
单元尺寸 l_FE = 0.400 m
增量数目为 5
使用各向同性线弹性材料模型
激活杆件抗剪刚度
激活大变形或超临界分析的杆件划分

结果输出

解析解	RFEM 6	比值	RSTAB 9	比值
一阶分析(几何线性)	0,000	0,000	<现在wiki>-	0,000	<现在wiki>-
三阶分析	-0.337	-0.336	0,997	-0.336	0,997

解析解	RFEM 6	比值	RSTAB 9	比值
一阶分析(几何线性)	1,441	1,441	1,000	1,441	1,000
三阶分析	1,379	1,380	1,001	1,380	1,001

解析解	RFEM 5	比值	RSTAB 8	比值
一阶分析(几何线性)	0,000	0,000	<现在wiki>-	0,000	<现在wiki>-
三阶分析	-0.337	-0.338	1,003	-0.337	1,000

解析解	RFEM 5	比值	RSTAB 8	比值
一阶分析(几何线性)	1,441	1,441	1,000	1,441	1,000
三阶分析	1,379	1,380	1,001	1,380	1,001

验证示例000052 | 1

406x

7x

验证示例000052 | 1

参考

LUMPE, G. 和 GENSITEN, V. 线性和非线性杆件分析评估理论和软件：示例、失效原因、详细理论。欧内斯特。

更希

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