107x

2026-01-19

VE0074 | Рамная конструкция под сейсмической нагрузкой

Описание

Плоская двухэтажная рама с одним пролётом подвергается нагрузке землетрясения. Балки, представляющие этажи, считаются жёсткими. Определите собственные частоты структуры, пренебрегая собственным весом и предполагая, что сосредоточенные массы находятся на уровнях этажей. Для каждой полученной частоты укажите перемещения этажей, а также эквивалентные силы, сгенерированные с помощью анализа спектра ответов.

Материал	Упругий	Модуль упругости	E	48000.000	МПа
Материал	Упругий	Коэффициент Пуассона	ν	0.500
Геометрия	Колонны	Ширина	w	0.500	м
		Высота	h	0.500	м
		Длина	L	5.000	м
Масса	Этаж	Первый	m₁	5e5	кг
Масса	Этаж	Второй	m₂	5e5	кг

Рамная конструкция под воздействием сейсмической нагрузки

Каркасная конструкция при воздействии сейсмической нагрузки

Спектр реакций

Аналитическое решение

Модальный анализ

Из-за жёстких балок и сосредоточенных масс структура может быть смоделирована как сдвиговое здание с двумя степенями свободы. Его свободные колебания без затухания описываются дифференциальным уравнением

M \ddot{u} + K u = 0

Дифференциальное уравнение свободных колебаний

где u — вектор перемещений, M — матрица массы,

M = [\begin{matrix} m_{1} & 0 \\ 0 & m_{2} \end{matrix}]

Матрица масс

а K — матрица жёсткости

K = [\begin{matrix} 4 k & - 2 k \\ - 2 k & 2 k \end{matrix}]

Матрица жёсткости

Жёсткость колонны на изгиб в направлении X может быть определена следующим образом:

k = \frac{E w h^{3}}{L^{3}}

Жёсткость колонны на изгиб в направлении X

Собственные значения ω (и собственные частоты f) и собственные векторы Φ могут быть определены с помощью анализа собственных значений.

|K - ω^{2} M| = 0

Расчёт собстветнных значений

f_{1} = 0.964 Hz; f_{2} = 2.523 Hz

Собственные частоты

ϕ_{1} = [\begin{matrix} 0.618 \\ 1.000 \end{matrix}]; ϕ_{2} = [\begin{matrix} 1.000 \\ - 0.618 \end{matrix}]

Собственные векторы

Анализ спектра ответов

После расчёта собственных значений и собственных векторов можно рассчитать перемещения и эквивалентные силы в соответствии с анализом спектра ответов (RSA). Значения спектрального ускорения S_a определяются из заданного акселерограммы и соответствующего периода.

T_{1} = \frac{1}{f_{1}} = 1.038 s \to S_{a} = 0.578 m \cdot s^{- 2}

T_{2} = \frac{1}{f_{2}} = 0.396 s \to S_{a} = 1.500 m \cdot s^{- 2}

Спектр реакций

u_{k (j)} = \frac{ϕ_{k (j)} \sum_{i} m_{i} ϕ_{i (j)}}{ω_{j}^{2} \sum_{i} m_{i} ϕ_{i (j)}^{2}} S_{a}

k	Точка конструкции
j	Форма собственных колебаний
i	Масса
S_a	Спектральное ускорение

RSA - перемещения

F_{k (j)} = \frac{ϕ_{k (j)} \sum_{i} m_{i} ϕ_{i (j)}}{\sum_{i} m_{i} ϕ_{i (j)}^{2}} m_{k} S_{a}

k	Точка конструкции
j	Собственная форма
i	Масса
S_a	Спектральное ускорение

RSA - Приведенные силы

Вычисленные перемещения и эквивалентные силы следуют. Столбцы в матрицах соответствуют формам колебаний; строки — точкам массы.

u = [\begin{matrix} 11.410 & 1.650 \\ 18.462 & - 1.020 \end{matrix}] mm

Перемещения по результатам

F = [\begin{matrix} 209.195 & 207.295 \\ 338.484 & - 128.115 \end{matrix}] kN

Результирующие эквивалентные силы

Настройки RFEM и RSTAB

Смоделировано в RFEM 6.11, RSTAB 9.11 и RFEM 5.39 (RF-DYNAM Pro), RSTAB 8.39 (DYNAM Pro)
Учтён геометрически линейный анализ
Масса учитывается в направлении X
Генерируется диагональная матрица массы
Используется метод корней характеристического полинома

Результаты

Величина	Аналитическое решение	RFEM 6	Соотношение	RFEM 5 RF-DYNAM Pro	Соотношение
u_1,1 [мм]	11.410	11.411	1.000
u_2,1 [мм]	18.462	18.464	1.000
u_1,2 [мм]	1.650	1.650	1.000
u_2,2 [мм]
1.000
F_1,1 [кН]	209.195	209.160	1.000	209.177	1.000
F_2,1 [кН]	338.484	338.440	1.000	338.456	1.000
F_1,2 [кН]	207.295	207.300	1.000	207.295	1.000
F_2,2 [кН]
1.000
1.000

Примечание: Эквивалентные силы в RFEM 6 вычисляются из внутренних сил жёстких балок.

Величина	Аналитическое решение	RSTAB 9	Соотношение	RSTAB 8 DYNAM Pro	Соотношение
u_1,1 [мм]	11.410	11.410	1.000
u_2,1 [мм]	18.462	18.462	1.000
u_1,2 [мм]	1.650	1.650	1.000
u_2,2 [мм]
1.000
F_1,1 [кН]	209.195	209.180	1.000	209.214	1.000
F_2,1 [кН]	338.484	338.460	1.000	338513	1.000
F_1,2 [кН]	207.295	207.300	1.000	207.292	1.000
F_2,2 [кН]
1.000
1.000

Примечание: Эквивалентные силы в RSTAB 9 вычисляются из внутренних сил жёстких балок.

Модель 000159 | Verification Example 000074 | 1

805x

30x

Верификационный пример 000074 | 1

;