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2026-01-19

VE0074 | Estrutura de pórtico sujeita a carga sísmica

Descrição

Uma estrutura de pórtico plano de dois andares e uma única viga é submetida a cargas sísmicas. As vigas que representam os pisos são consideradas rígidas. Determine as frequências naturais da estrutura, desconsiderando o peso próprio e assumindo que as massas concentradas estão nos níveis dos pisos. Para cada frequência obtida, especifique os deslocamentos dos pisos bem como as forças equivalentes geradas usando a análise do espectro de resposta.

Material	Elástico	Módulo de Elasticidade	E	48000.000	MPa
Material	Elástico	Coeficiente de Poisson	ν	0.500	-
Geometria	Colunas	Largura	w	0.500	m
		Altura	h	0.500	m
		Comprimento	L	5.000	m
Massa	Piso	Primeiro	m₁	5e5	kg
Massa	Piso	Segundo	m₂	5e5	kg

Estrutura de pórtico sujeita a cargas sísmicas

Estrutura de pórtico sujeita a carga de sismo

Espectro de resposta

Solução Analítica

Análise Modal

Devido às vigas rígidas e às massas concentradas, a estrutura pode ser modelada como um edifício de cisalhamento com dois graus de liberdade. Sua vibração livre sem amortecimento é descrita pela equação diferencial

M \ddot{u} + K u = 0

Equação diferencial de vibração livre

onde u é o vetor de deslocamento, M é a matriz de massa,

M = [\begin{matrix} m_{1} & 0 \\ 0 & m_{2} \end{matrix}]

Matriz de massas

e K é a matriz de rigidez

K = [\begin{matrix} 4 k & - 2 k \\ - 2 k & 2 k \end{matrix}]

Matriz de rigidez

A rigidez à flexão de uma coluna na direção X pode ser definida como segue:

k = \frac{E w h^{3}}{L^{3}}

Rigidez à flexão do pilar na direção X

Os autovalores ω (e frequências naturais f) e autovetores Φ podem ser determinados usando a análise de autovalores.

|K - ω^{2} M| = 0

Análise de valores próprios

f_{1} = 0.964 Hz; f_{2} = 2.523 Hz

Frequências naturais

ϕ_{1} = [\begin{matrix} 0.618 \\ 1.000 \end{matrix}]; ϕ_{2} = [\begin{matrix} 1.000 \\ - 0.618 \end{matrix}]

Vetores próprios

Análise do Espectro de Resposta

Após o cálculo dos autovalores e autovetores, os deslocamentos e forças equivalentes podem ser calculados de acordo com a Análise do Espectro de Resposta (RSA). Os valores da aceleração espectral S_a são determinados a partir do acelerograma fornecido e do período correspondente.

T_{1} = \frac{1}{f_{1}} = 1.038 s \to S_{a} = 0.578 m \cdot s^{- 2}

T_{2} = \frac{1}{f_{2}} = 0.396 s \to S_{a} = 1.500 m \cdot s^{- 2}

Espectro de resposta

u_{k (j)} = \frac{ϕ_{k (j)} \sum_{i} m_{i} ϕ_{i (j)}}{ω_{j}^{2} \sum_{i} m_{i} ϕ_{i (j)}^{2}} S_{a}

k	Ponto da estrutura
j	Forma própria
i	Massa
S_a	Aceleração espectral

RSA - deslocamentos

F_{k (j)} = \frac{ϕ_{k (j)} \sum_{i} m_{i} ϕ_{i (j)}}{\sum_{i} m_{i} ϕ_{i (j)}^{2}} m_{k} S_{a}

k	Ponto da estrutura
j	Forma própria
i	Massa
S_a	Aceleração espectral

RSA - Forças equivalentes

Os deslocamentos e forças equivalentes calculados seguem. As colunas nas matrizes correspondem à forma do modo; as linhas correspondem ao ponto de massa.

u = [\begin{matrix} 11.410 & 1.650 \\ 18.462 & - 1.020 \end{matrix}] mm

Deslocamentos resultantes

F = [\begin{matrix} 209.195 & 207.295 \\ 338.484 & - 128.115 \end{matrix}] kN

Forças equivalentes de resultado

Configurações RFEM e RSTAB

Modelado no RFEM 6.11, RSTAB 9.11, e RFEM 5.39 (RF-DYNAM Pro), RSTAB 8.39 (DYNAM Pro)
Análise linear geométrica é considerada
Massa é considerada na direção X
Matriz de massa diagonal é gerada
Raiz do polinômio característico é usada como método de solução

Resultados

Quantidade	Solução Analítica	RFEM 6	Razão	RFEM 5 RF-DYNAM Pro	Razão
u_1,1 [mm]	11.410	11.411	1.000	-	-
u_2,1 [mm]	18.462	18.464	1.000	-	-
u_1,2 [mm]	1.650	1.650	1.000	-	-
u_2,2 [mm]	-1.020	-1.020	1.000	-	-
F_1,1 [kN]	209.195	209.160	1.000	209.177	1.000
F_2,1 [kN]	338.484	338.440	1.000	338.456	1.000
F_1,2 [kN]	207.295	207.300	1.000	207.295	1.000
F_2,2 [kN]	-128.115	-128.120	1.000	-128.115	1.000

Observação: As forças equivalentes no RFEM 6 são calculadas a partir das forças internas das vigas rígidas.

Quantidade	Solução Analítica	RSTAB 9	Razão	RSTAB 8 DYNAM Pro	Razão
u_1,1 [mm]	11.410	11.410	1.000	-	-
u_2,1 [mm]	18.462	18.462	1.000	-	-
u_1,2 [mm]	1.650	1.650	1.000	-	-
u_2,2 [mm]	-1.020	-1.020	1.000	-	-
F_1,1 [kN]	209.195	209.180	1.000	209.214	1.000
F_2,1 [kN]	338.484	338.460	1.000	338513	1.000
F_1,2 [kN]	207.295	207.300	1.000	207.292	1.000
F_2,2 [kN]	-128.115	-128.120	1.000	-128.114	1.000

Observação: As forças equivalentes no RSTAB 9 são calculadas a partir das forças internas das vigas rígidas.

Modelo 000159 | Exemplo de verificação 000074 | 1

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Exemplo de verificação 000074 | 1

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