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19. Januar 2026

VE0074 | Rahmenkonstruktion unter Erdbebenbelastung

Beschreibung

Eine ebene zweigeschossige Einfeldrahmenkonstruktion wird einer Erdbebenbelastung ausgesetzt. Die Träger, die die Stockwerke darstellen, werden als starr betrachtet. Bestimmen Sie die Eigenfrequenzen der Konstruktion, wobei Sie das Eigengewicht vernachlässigen und davon ausgehen, dass sich die konzentrierten Massen auf den Stockwerksebenen befinden. Geben Sie für jede ermittelte Frequenz die Verschiebungen der Stockwerke sowie die Ersatzlasten an, die unter Verwendung des Antwortspektrenverfahrens generiert wurden.

Material	Elastisch	Elastizitätsmodul	E	48000.000	MPa
Material	Elastisch	Querdehnzahl	ν	0.500	-
Geometrie	Stützen	Breite	w	0.500	m
		Höhe	h	0.500	m
		Länge	L	5.000	m
Masse	Geschoss	1.	m₁	5e5	kg
Masse	Geschoss	2.	m₂	5e5	kg

Rahmenkonstruktion unter Erdbebenbelastung

Antwortspektrum

Analytische Lösung

Modalanalyse

Aufgrund der starren Träger und konzentrierten Massen kann die Struktur als Schubgebäude mit zwei Freiheitsgraden modelliert werden. Ihre ungedämpfte freie Schwingung wird durch die Differentialgleichung beschrieben

M \ddot{u} + K u = 0

Differenzialgleichung der freien Schwingung

wobei u der Verschiebungsvektor, M die Massenmatrix

M = [\begin{matrix} m_{1} & 0 \\ 0 & m_{2} \end{matrix}]

Massenmatrix

und K die Steifigkeitsmatrix ist

K = [\begin{matrix} 4 k & - 2 k \\ - 2 k & 2 k \end{matrix}]

Steifigkeitsmatrix

Die Biegesteifigkeit einer Stütze in X-Richtung kann wie folgt definiert werden:

k = \frac{E w h^{3}}{L^{3}}

Biegesteifigkeit einer Stütze in X-Richtung

Die Eigenwerte ω (und Eigenfrequenzen f) und Eigenvektoren Φ können mithilfe der Eigenwertanalyse bestimmt werden.

|K - ω^{2} M| = 0

Eigenwertanalyse

f_{1} = 0.964 Hz; f_{2} = 2.523 Hz

Eigenfrequenzen

ϕ_{1} = [\begin{matrix} 0.618 \\ 1.000 \end{matrix}]; ϕ_{2} = [\begin{matrix} 1.000 \\ - 0.618 \end{matrix}]

Eigenvektoren

Antwortspektrenanalyse

Nach der Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren können die Verschiebung und die Ersatzlasten gemäß dem Antwortspektrenverfahren (ASV) berechnet werden. Die Werte der spektralen Beschleunigung S_a werden aus dem gegebenen Akzelerogramm und der entsprechenden Periode ermittelt.

T_{1} = \frac{1}{f_{1}} = 1.038 s \to S_{a} = 0.578 m \cdot s^{- 2}

T_{2} = \frac{1}{f_{2}} = 0.396 s \to S_{a} = 1.500 m \cdot s^{- 2}

Antwortspektrum

u_{k (j)} = \frac{ϕ_{k (j)} \sum_{i} m_{i} ϕ_{i (j)}}{ω_{j}^{2} \sum_{i} m_{i} ϕ_{i (j)}^{2}} S_{a}

k	Punkt der Struktur
j	Eigenform
i	Masse
S_a	Spektralbeschleunigung

ASV - Verschiebungen

F_{k (j)} = \frac{ϕ_{k (j)} \sum_{i} m_{i} ϕ_{i (j)}}{\sum_{i} m_{i} ϕ_{i (j)}^{2}} m_{k} S_{a}

k	Punkt der Struktur
j	Eigenform
i	Masse
S_a	Spektralbeschleunigung

ASV - Ersatzlasten

Es folgen die berechneten Verschiebungen und Ersatzlasten. Die Spalten in den Matrizen entsprechen der Eigenform, die Zeilen entsprechen dem Massenpunkt.

u = [\begin{matrix} 11.410 & 1.650 \\ 18.462 & - 1.020 \end{matrix}] mm

Ergebnisverschiebungen

F = [\begin{matrix} 209.195 & 207.295 \\ 338.484 & - 128.115 \end{matrix}] kN

Ergebnis-Ersatzlasten

RFEM- und RSTAB-Einstellungen

Modelliert in RFEM 6.11, RSTAB 9.11 und RFEM 5.39 (RF-DYNAM Pro), RSTAB 8.39 (DYNAM Pro)
Theorie I. Ordnung (geometrisch linear) wird berücksichtigt
Masse wird in X-Richtung berücksichtigt
Diagonale Massenmatrix wird generiert
Wurzel des charakteristischen Polynoms wird als Lösungsmethode verwendet

Ergebnisse

Größe	Analytische Lösung	RFEM 6	Verhältnis	RFEM 5 RF-DYNAM Pro	Verhältnis
u_1,1 [mm]	11.410	11.411	1.000	-	-
u_2,1 [mm]	18.462	18.464	1.000	-	-
u_1,2 [mm]	1.650	1.650	1.000	-	-
u_2,2 [mm]	-1.020	-1.020	1.000	-	-
F_1,1 [kN]	209.195	209.160	1.000	209.177	1.000
F_2,1 [kN]	338.484	338.440	1.000	338.456	1.000
F_1,2 [kN]	207.295	207.300	1.000	207.295	1.000
F_2,2 [kN]	-128.115	-128.120	1.000	-128.115	1.000

Anmerkung: Ersatzlasten in RFEM 6 werden aus den Schnittgrößen starrer Träger berechnet.

Größe	Analytische Lösung	RSTAB 9	Verhältnis	RSTAB 8 DYNAM Pro	Verhältnis
u_1,1 [mm]	11.410	11.410	1.000	-	-
u_2,1 [mm]	18.462	18.462	1.000	-	-
u_1,2 [mm]	1.650	1.650	1.000	-	-
u_2,2 [mm]	-1.020	-1.020	1.000	-	-
F_1,1 [kN]	209.195	209.180	1.000	209.214	1.000
F_2,1 [kN]	338.484	338.460	1.000	338513	1.000
F_1,2 [kN]	207.295	207.300	1.000	207.292	1.000
F_2,2 [kN]	-128.115	-128.120	1.000	-128.114	1.000

Anmerkung: Ersatzlasten in RSTAB 9 werden aus den Schnittgrößen starrer Träger berechnet.

Modell 000159 | Verifikationsbeispiel 000074 | 1

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Verifikationsbeispiel 000074 | 1

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