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19.01.2026

VE0074 | Structure de portique soumise à des charges sismiques

Description

Une structure en cadre à une travée sur deux étages est soumise à une charge sismique. Les poutres représentant les dalles sont considérées comme rigides. Déterminez les fréquences naturelles de la structure tout en négligeant le poids propre et en supposant que les masses concentrées sont aux niveaux des planchers. Pour chaque fréquence obtenue, spécifiez les déplacements des planchers ainsi que les forces équivalentes générées à l'aide de l'analyse spectrale de réponse.

Matériau	Élastique	Module d'Elasticité	E	48000.000	MPa
Matériau	Élastique	Coefficient de Poisson	ν	0.500	-
Géométrie	Colonnes	Largeur	w	0.500	m
		Hauteur	h	0.500	m
		Longueur	L	5.000	m
Masse	Plancher	Premier	m₁	5e5	kg
Masse	Plancher	Deuxième	m₂	5e5	kg

Structure en portique soumise à une charge sismique

Structure en portique soumise à des charges sismiques

Spectre de réponse

Solution Analytique

Analyse Modale

En raison des poutres rigides et des masses concentrées, la structure peut être modélisée comme un bâtiment d’effort avec deux degrés de liberté. Sa vibration libre non amortie est décrite par l'équation différentielle

M \ddot{u} + K u = 0

Équation différentielle des oscillations libres

où u est le vecteur de déplacement, M est la matrice de masse,

M = [\begin{matrix} m_{1} & 0 \\ 0 & m_{2} \end{matrix}]

Matrice des masses

et K est la matrice de raideur

K = [\begin{matrix} 4 k & - 2 k \\ - 2 k & 2 k \end{matrix}]

Matrice de rigidité

La raideur à la flexion d'un poteau dans la direction X peut être définie comme suit :

k = \frac{E w h^{3}}{L^{3}}

Rigidité en flexion du poteau dans la direction X

Les valeurs propres ω (et fréquences naturelles f) et vecteurs propres Φ peuvent être déterminés en utilisant l'analyse des valeurs propres.

|K - ω^{2} M| = 0

Analyse aux valeurs propres

f_{1} = 0.964 Hz; f_{2} = 2.523 Hz

Modes propres

ϕ_{1} = [\begin{matrix} 0.618 \\ 1.000 \end{matrix}]; ϕ_{2} = [\begin{matrix} 1.000 \\ - 0.618 \end{matrix}]

Vecteurs propres

Analyse Spectrale de Réponse

Après le calcul des valeurs propres et des vecteurs propres, le déplacement et les forces équivalentes peuvent être calculés selon l'Analyse Spectrale de Réponse (RSA). Les valeurs de l'accélération spectrale S_a sont déterminées à partir de l'accélérogramme donné et de la période correspondante.

T_{1} = \frac{1}{f_{1}} = 1.038 s \to S_{a} = 0.578 m \cdot s^{- 2}

T_{2} = \frac{1}{f_{2}} = 0.396 s \to S_{a} = 1.500 m \cdot s^{- 2}

Spectre de réponse

u_{k (j)} = \frac{ϕ_{k (j)} \sum_{i} m_{i} ϕ_{i (j)}}{ω_{j}^{2} \sum_{i} m_{i} ϕ_{i (j)}^{2}} S_{a}

k	Point de la structure
j	Déformée modale
i	Masse
S_a	Accélération spectrale

RSA - Déplacements

F_{k (j)} = \frac{ϕ_{k (j)} \sum_{i} m_{i} ϕ_{i (j)}}{\sum_{i} m_{i} ϕ_{i (j)}^{2}} m_{k} S_{a}

k	Point de la structure
j	Déformée modale
i	Masse
S_a	Accélération spectrale

Analyse structurale sismique RSA - Forces équivalentes

Les déplacements calculés et les forces équivalentes suivent. Les colonnes dans les matrices correspondent à la forme modale; les lignes correspondent au point de masse.

u = [\begin{matrix} 11.410 & 1.650 \\ 18.462 & - 1.020 \end{matrix}] mm

Déplacements résultants

F = [\begin{matrix} 209.195 & 207.295 \\ 338.484 & - 128.115 \end{matrix}] kN

Résultat des forces équivalentes

Paramètres RFEM et RSTAB

Modélisé dans RFEM 6.11, RSTAB 9.11, et RFEM 5.39 (RF-DYNAM Pro), RSTAB 8.39 (DYNAM Pro)
Une analyse linéaire géométriquement est considérée
La masse est considérée dans la direction X
Une matrice de masse diagonale est générée
La racine du polynôme caractéristique est utilisée comme méthode de résolution

Résultats

Quantité	Solution Analytique	RFEM 6	Rapport	RFEM 5 RF-DYNAM Pro	Rapport
u_1,1 [mm]	11.410	11.411	1.000	-	-
u_2,1 [mm]	18.462	18.464	1.000	-	-
u_1,2 [mm]	1.650	1.650	1.000	-	-
u_2,2 [mm]	-1.020	-1.020	1.000	-	-
F_1,1 [kN]	209.195	209.160	1.000	209.177	1.000
F_2,1 [kN]	338.484	338.440	1.000	338.456	1.000
F_1,2 [kN]	207.295	207.300	1.000	207.295	1.000
F_2,2 [kN]	-128.115	-128.120	1.000	-128.115	1.000

Remarque : Les forces équivalentes dans RFEM 6 sont calculées à partir des forces internes des poutres rigides.

Quantité	Solution Analytique	RSTAB 9	Rapport	RSTAB 8 DYNAM Pro	Rapport
u_1,1 [mm]	11.410	11.410	1.000	-	-
u_2,1 [mm]	18.462	18.462	1.000	-	-
u_1,2 [mm]	1.650	1.650	1.000	-	-
u_2,2 [mm]	-1.020	-1.020	1.000	-	-
F_1,1 [kN]	209.195	209.180	1.000	209.214	1.000
F_2,1 [kN]	338.484	338.460	1.000	338513	1.000
F_1,2 [kN]	207.295	207.300	1.000	207.292	1.000
F_2,2 [kN]	-128.115	-128.120	1.000	-128.114	1.000

Remarque : Les forces équivalentes dans RSTAB 9 sont calculées à partir des forces internes des poutres rigides.

Modèle 000159 | Verification Example 000074 | 1

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Exemple de vérification 000074 | 1

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