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2026-01-19

VE0074 | 地震荷载作用下的框架结构

一个平面两层单跨框架结构受到地震载荷的影响。表示楼层的梁被视为刚性元件。在忽略自重并假设集中的质量位于楼层水平的情况下，确定结构的固有频率。对于每个获得的频率，指定楼层的位移以及使用反应谱分析生成的等效力。

反应谱

模态分析

由于刚性梁和集中的质量，该结构可以建模为具有两个自由度的剪切建筑。其无阻尼自由振动由微分方程描述

M \ddot{u} + K u = 0

其中 u 是位移向量，M 是质量矩阵，

M = [\begin{matrix} m_{1} & 0 \\ 0 & m_{2} \end{matrix}]

质量矩阵

而 K 是刚度矩阵

K = [\begin{matrix} 4 k & - 2 k \\ - 2 k & 2 k \end{matrix}]

刚度矩阵

在X方向上立柱的弯曲刚度可以定义如下：

k = \frac{E w h^{3}}{L^{3}}

使用特征值分析可以确定特征值 ω （和固有频率 f）以及特征向量 Φ。

|K - ω^{2} M| = 0

特征值分析

f_{1} = 0.964 Hz; f_{2} = 2.523 Hz

自振频率

ϕ_{1} = [\begin{matrix} 0.618 \\ 1.000 \end{matrix}]; ϕ_{2} = [\begin{matrix} 1.000 \\ - 0.618 \end{matrix}]

特征向量

在计算特征值和特征向量后，根据反应谱分析（RSA）可以计算出位移和等效力。谱加速度 S_a 的值从给定的加速度记录仪和相应的周期中确定。

T_{1} = \frac{1}{f_{1}} = 1.038 s \to S_{a} = 0.578 m \cdot s^{- 2}

T_{2} = \frac{1}{f_{2}} = 0.396 s \to S_{a} = 1.500 m \cdot s^{- 2}

反应谱

u_{k (j)} = \frac{ϕ_{k (j)} \sum_{i} m_{i} ϕ_{i (j)}}{ω_{j}^{2} \sum_{i} m_{i} ϕ_{i (j)}^{2}} S_{a}

RSA - 位移图

F_{k (j)} = \frac{ϕ_{k (j)} \sum_{i} m_{i} ϕ_{i (j)}}{\sum_{i} m_{i} ϕ_{i (j)}^{2}} m_{k} S_{a}

EKF - 等值力

计算出的位移和等效力如下。矩阵中的列对应于动力模式，行对应于质量点。

u = [\begin{matrix} 11.410 & 1.650 \\ 18.462 & - 1.020 \end{matrix}] mm

位移结果

F = [\begin{matrix} 209.195 & 207.295 \\ 338.484 & - 128.115 \end{matrix}] kN

结果等效力

备注：RFEM 6中的等效力是从刚性梁内力计算得出的。

备注：RSTAB 9中的等效力是从刚性梁内力计算得出的。

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