107x

2026-01-19

VE0074 | Konstrukcja szkieletowa poddana obciążeniu trzęsieniem ziemi

Opis

Płaska, dwukondygnacyjna rama jednoprzęsłowa poddana jest obciążeniu trzęsieniem ziemi. Belki reprezentujące podłogi są traktowane jako sztywne. Określić częstotliwości własne konstrukcji, pomijając ciężar własny i zakładając, że masy skupione znajdują się na poziomach podłóg. Dla każdej uzyskanej częstotliwości określić przemieszczenia podłóg oraz równoważne siły generowane przy użyciu analizy spektrum odpowiedzi.

Materiał	Sprężysty	Moduł sprężystości	E	48000.000	MPa
Materiał	Sprężysty	Współczynnik Poissona	ν	0.500	-
Geometria	Kolumny	Szerokość	w	0.500	m
		Wysokość	h	0.500	m
		Długość	L	5.000	m
Masa	Podłoga	Pierwsza	m₁	5e5	kg
Masa	Podłoga	Druga	m₂	5e5	kg

Konstrukcja ramowa narażona na obciążeniu trzęsieniem ziemi

Konstrukcja szkieletowa poddana obciążeniu trzęsieniem ziemi

Spektrum odpowiedzi

Rozwiązanie Analityczne

Analiza Modalna

Ze względu na sztywne belki i masy skupione, konstrukcja może być modelowana jako budynek ścinany z dwoma stopniami swobody. Jej nieprzytłumione drganie swobodne opisuje równanie różniczkowe

M \ddot{u} + K u = 0

Równanie różniczkowe drgań swobodnych

gdzie u jest wektorem przemieszczenia, M jest macierzą mas,

M = [\begin{matrix} m_{1} & 0 \\ 0 & m_{2} \end{matrix}]

Macierz mas

a K to macierz sztywności

K = [\begin{matrix} 4 k & - 2 k \\ - 2 k & 2 k \end{matrix}]

Macierz sztywności

Sztywność zginania kolumny w kierunku X można zdefiniować w następujący sposób:

k = \frac{E w h^{3}}{L^{3}}

Sztywność na zginanie słupa w kierunku X

Wartości własne ω (i częstotliwości własne f) oraz wektory własne Φ można określić korzystając z analizy wartości własnych.

|K - ω^{2} M| = 0

Analiza wartości własnych

f_{1} = 0.964 Hz; f_{2} = 2.523 Hz

Częstotliwości drgań własnych

ϕ_{1} = [\begin{matrix} 0.618 \\ 1.000 \end{matrix}]; ϕ_{2} = [\begin{matrix} 1.000 \\ - 0.618 \end{matrix}]

Wektory własne

Analiza Spektrum Odpowiedzi

Po obliczeniu wartości własnych i wektorów własnych można obliczyć przemieszczenia oraz równoważne siły zgodnie z Analizą Spektrum Odpowiedzi (RSA). Wartości przyspieszenia spektralnego S_a są określane na podstawie podanego akcelerogramu i odpowiadającego mu okresu.

T_{1} = \frac{1}{f_{1}} = 1.038 s \to S_{a} = 0.578 m \cdot s^{- 2}

T_{2} = \frac{1}{f_{2}} = 0.396 s \to S_{a} = 1.500 m \cdot s^{- 2}

Spektrum odpowiedzi

u_{k (j)} = \frac{ϕ_{k (j)} \sum_{i} m_{i} ϕ_{i (j)}}{ω_{j}^{2} \sum_{i} m_{i} ϕ_{i (j)}^{2}} S_{a}

k	Punkt konstrukcji
j	Postać drgań
i	Masa
S_a	Przyspieszenie spektralne

RSA - Przemieszczenia

F_{k (j)} = \frac{ϕ_{k (j)} \sum_{i} m_{i} ϕ_{i (j)}}{\sum_{i} m_{i} ϕ_{i (j)}^{2}} m_{k} S_{a}

k	Punkt konstrukcji
j	Postać odkształcenia
i	Masa
S_a	Przyspieszenie spektralne

RSA - siły równoważne

Następują obliczone przemieszczenia i równoważne siły. Kolumny w macierzach odpowiadają kształtowi drgań; wiersze odpowiadają punktowi masowemu.

u = [\begin{matrix} 11.410 & 1.650 \\ 18.462 & - 1.020 \end{matrix}] mm

Przemieszczenia wynikowe

F = [\begin{matrix} 209.195 & 207.295 \\ 338.484 & - 128.115 \end{matrix}] kN

Siły równoważne wyników

Ustawienia RFEM i RSTAB

Modelowane w RFEM 6.11, RSTAB 9.11 oraz RFEM 5.39 (RF-DYNAM Pro), RSTAB 8.39 (DYNAM Pro)
Uwzględniana analiza liniowa geometrycznie
Masa jest uwzględniana w kierunku X
Generowana jest macierz mas przekątniowych
Jako metodę rozwiązania użyto pierwiastka wielomianu charakterystycznego

Wyniki

Wielkość	Rozwiązanie Analityczne	RFEM 6	Stosunek	RFEM 5 RF-DYNAM Pro	Stosunek
u_1,1 [mm]	11.410	11.411	1.000	-	-
u_2,1 [mm]	18.462	18.464	1.000	-	-
u_1,2 [mm]	1.650	1.650	1.000	-	-
u_2,2 [mm]	-1.020	-1.020	1.000	-	-
F_1,1 [kN]	209.195	209.160	1.000	209.177	1.000
F_2,1 [kN]	338.484	338.440	1.000	338.456	1.000
F_1,2 [kN]	207.295	207.300	1.000	207.295	1.000
F_2,2 [kN]	-128.115	-128.120	1.000	-128.115	1.000

Uwagi: Równoważne siły w RFEM 6 są obliczane z wewnętrznych sił sztywnych belek.

Wielkość	Rozwiązanie Analityczne	RSTAB 9	Stosunek	RSTAB 8 DYNAM Pro	Stosunek
u_1,1 [mm]	11.410	11.410	1.000	-	-
u_2,1 [mm]	18.462	18.462	1.000	-	-
u_1,2 [mm]	1.650	1.650	1.000	-	-
u_2,2 [mm]	-1.020	-1.020	1.000	-	-
F_1,1 [kN]	209.195	209.180	1.000	209.214	1.000
F_2,1 [kN]	338.484	338.460	1.000	338513	1.000
F_1,2 [kN]	207.295	207.300	1.000	207.292	1.000
F_2,2 [kN]	-128.115	-128.120	1.000	-128.114	1.000

Uwagi: Równoważne siły w RSTAB 9 są obliczane z wewnętrznych sił sztywnych belek.

Model 000159 | Verification Example 000074 | 1

804x

29x

Przykład weryfikacyjny 000074 | 1

;