107x

19.1.2026

VE0074 | Rámová konstrukce vystavená seizmickému zatížení

Popis

Dvoupatrová jednoduchá rámová konstrukce je vystavena seizmickému zatížení. Nosníky představující podlahy jsou považovány za tuhé. Určete vlastní frekvence konstrukce, přičemž zanedbejte vlastní tíhu a předpokládejte, že soustředěné hmoty se nacházejí na úrovni podlaží. Pro každou získanou frekvenci určete posuny podlaží a náhradní síly vygenerované pomocí analýzy spektra odezvy.

Materiál	Elastický	Modul pružnosti	E	48000.000	MPa
Materiál	Elastický	Poissonův součinitel	ν	0.500	-
Geometrie	Sloupy	Šířka	w	0.500	m
		Výška	h	0.500	m
		Délka	L	5.000	m
Hmotnost	Podlaha	První	m₁	5e5	kg
Hmotnost	Podlaha	Druhá	m₂	5e5	kg

Rámová konstrukce vystavená seizmickému zatížení

Spektrum odezvy

Analytické řešení

Modální analýza

Vzhledem k tuhým nosníkům a soustředěným hmotám lze konstrukci modelovat jako budovu se dvěma stupni volnosti. Její netlumené volné kmitání je popsáno diferenciální rovnicí

M \ddot{u} + K u = 0

Diferenciální rovnice pro volné kmitání

kde u je vektor posunu, M je matice hmot,

M = [\begin{matrix} m_{1} & 0 \\ 0 & m_{2} \end{matrix}]

Matice hmot

a K je matice tuhosti

K = [\begin{matrix} 4 k & - 2 k \\ - 2 k & 2 k \end{matrix}]

Matice tuhosti

Ohybová tuhost sloupu ve směru X lze definovat následovně:

k = \frac{E w h^{3}}{L^{3}}

Ohybová tuhost sloupu ve směru X

Vlastní hodnoty ω (a vlastní frekvence f) a vlastní vektory Φ lze určit pomocí analýzy vlastních čísel.

|K - ω^{2} M| = 0

Analýza vlastních čísel

f_{1} = 0.964 Hz; f_{2} = 2.523 Hz

Vlastní frekvence

ϕ_{1} = [\begin{matrix} 0.618 \\ 1.000 \end{matrix}]; ϕ_{2} = [\begin{matrix} 1.000 \\ - 0.618 \end{matrix}]

Vlastní vektory

Analýza spektrální odezvy

Po stanovení vlastních čísel a vlastních vektorů lze vypočítat posun a náhradní síly podle analýzy spektra odezvy (RSA). Hodnoty spektrálního zrychlení S_a se stanoví z daného akcelerogramu a příslušné periody.

T_{1} = \frac{1}{f_{1}} = 1.038 s \to S_{a} = 0.578 m \cdot s^{- 2}

T_{2} = \frac{1}{f_{2}} = 0.396 s \to S_{a} = 1.500 m \cdot s^{- 2}

Spektrum odezvy

u_{k (j)} = \frac{ϕ_{k (j)} \sum_{i} m_{i} ϕ_{i (j)}}{ω_{j}^{2} \sum_{i} m_{i} ϕ_{i (j)}^{2}} S_{a}

k	Bod konstrukce
j	Vlastní tvar
i	Hmota
S_a	Spektrální zrychlení

RSA – posuny

F_{k (j)} = \frac{ϕ_{k (j)} \sum_{i} m_{i} ϕ_{i (j)}}{\sum_{i} m_{i} ϕ_{i (j)}^{2}} m_{k} S_{a}

k	Bod konstrukce
j	Vlastní tvar
i	Hmota
S_a	Spektrální zrychlení

RSA – náhradní síly

Následují vypočtené posuny a náhradní síly. Sloupce v maticích odpovídají vlastnímu tvaru; řádky odpovídají hmotným bodům.

u = [\begin{matrix} 11.410 & 1.650 \\ 18.462 & - 1.020 \end{matrix}] mm

Výsledné posuny

F = [\begin{matrix} 209.195 & 207.295 \\ 338.484 & - 128.115 \end{matrix}] kN

Výsledné ekvivalentní síly

Nastavení RFEM a RSTAB

Modelováno v RFEM 6.11, RSTAB 9.11 a RFEM 5.39 (RF-DYNAM Pro), RSTAB 8.39 (DYNAM Pro)
Zohledněn geometricky lineární výpočet
Hmotnost zohledněna ve směru X
Generována diagonální matice hmot
Metodou řešení je kořen charakteristického polynomu

Výsledky

Množství	Analytické řešení	RFEM 6	Využití	RFEM 5 RF-DYNAM Pro	Využití
u_1,1 [mm]	11.410	11.411	1.000	-	-
u_2,1 [mm]	18.462	18.464	1.000	-	-
u_1,2 [mm]	1.650	1.650	1.000	-	-
u_2,2 [mm]	-1.020	-1.020	1.000	-	-
F_1,1 [kN]	209.195	209.160	1.000	209.177	1.000
F_2,1 [kN]	338.484	338.440	1.000	338.456	1.000
F_1,2 [kN]	207.295	207.300	1.000	207.295	1.000
F_2,2 [kN]	-128.115	-128.120	1.000	-128.115	1.000

Poznámka: Náhradní síly v programu RFEM 6 se počítají z vnitřních sil tuhého nosníku.

Množství	Analytické řešení	RSTAB 9	Využití	RSTAB 8 DYNAM Pro	Využití
u_1,1 [mm]	11.410	11.410	1.000	-	-
u_2,1 [mm]	18.462	18.462	1.000	-	-
u_1,2 [mm]	1.650	1.650	1.000	-	-
u_2,2 [mm]	-1.020	-1.020	1.000	-	-
F_1,1 [kN]	209.195	209.180	1.000	209.214	1.000
F_2,1 [kN]	338.484	338.460	1.000	338513	1.000
F_1,2 [kN]	207.295	207.300	1.000	207.292	1.000
F_2,2 [kN]	-128.115	-128.120	1.000	-128.114	1.000

Poznámka: Náhradní síly v programu RSTAB 9 se počítají z vnitřních sil tuhého nosníku.

Model 000159 | Verifikační příklad 000074 | 1

804x

29x

Verifikační příklad 000074 | 1

;