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2026-01-19

VE0074 | Struttura a telai sottoposta a carico sismico

Descrizione

Una struttura di telaio piano a due piani e campata singola è soggetta a carico sismico. Le travi che rappresentano i piani sono considerate rigide. Determinare le frequenze naturali della struttura trascurando il peso proprio e assumendo che le masse concentrate siano ai livelli dei piani. Per ciascuna frequenza ottenuta, specificare gli spostamenti dei piani e le forze equivalenti generate utilizzando l'analisi dello spettro di risposta.

Materiale	Elastico	Modulo di Elasticità	E	48000.000	MPa
Materiale	Elastico	Coefficiente di Poisson	ν	0.500	-
Geometria	Colonne	Larghezza	w	0.500	m
		Altezza	h	0.500	m
		Lunghezza	L	5.000	m
Massa	Piano	Primo	m₁	5e5	kg
Massa	Piano	Secondo	m₂	5e5	kg

Struttura a telaio soggetta al carico sismico

Struttura intelaiata soggetta a carico sismico

Spettro di risposta

Soluzione Analitica

Analisi Modale

A causa delle travi rigide e delle masse concentrate, la struttura può essere modellata come un edificio a taglio con due gradi di libertà. La sua vibrazione libera smorzata è descritta dall'equazione differenziale

M \ddot{u} + K u = 0

Equazione differenziale della vibrazione libera

dove u è il vettore di spostamento, M è la matrice di massa,

M = [\begin{matrix} m_{1} & 0 \\ 0 & m_{2} \end{matrix}]

Matrice delle masse

e K è la matrice di rigidezza

K = [\begin{matrix} 4 k & - 2 k \\ - 2 k & 2 k \end{matrix}]

Matrice di rigidezza

La rigidezza flessionale di una colonna nella direzione X può essere definita come segue:

k = \frac{E w h^{3}}{L^{3}}

Rigidezza flessionale del Pilastro nella direzione X

I valori propri ω (e le frequenze naturali f) e gli autovettori Φ possono essere determinati utilizzando l'analisi dei valori propri.

|K - ω^{2} M| = 0

Analisi agli autovalori

f_{1} = 0.964 Hz; f_{2} = 2.523 Hz

Frequenze Naturali

ϕ_{1} = [\begin{matrix} 0.618 \\ 1.000 \end{matrix}]; ϕ_{2} = [\begin{matrix} 1.000 \\ - 0.618 \end{matrix}]

Autovettori

Analisi dello Spettro di Risposta

Dopo il calcolo dei valori propri e degli autovettori, lo spostamento e le forze equivalenti possono essere calcolati secondo l'Analisi dello Spettro di Risposta (RSA). I valori dell'accelerazione spettrale S_a sono determinati dall'accelerogramma dato e dal periodo corrispondente.

T_{1} = \frac{1}{f_{1}} = 1.038 s \to S_{a} = 0.578 m \cdot s^{- 2}

T_{2} = \frac{1}{f_{2}} = 0.396 s \to S_{a} = 1.500 m \cdot s^{- 2}

Spettro di risposta

u_{k (j)} = \frac{ϕ_{k (j)} \sum_{i} m_{i} ϕ_{i (j)}}{ω_{j}^{2} \sum_{i} m_{i} ϕ_{i (j)}^{2}} S_{a}

k	Punto della struttura
j	Deformata modale
i	Massa
S_a	Accelerazione spettrale

Spostamenti

F_{k (j)} = \frac{ϕ_{k (j)} \sum_{i} m_{i} ϕ_{i (j)}}{\sum_{i} m_{i} ϕ_{i (j)}^{2}} m_{k} S_{a}

k	Punto della struttura
j	Deformata modale
i	Massa
S_a	Accelerazione spettrale

RSA - Forze equivalenti

Seguono gli spostamenti calcolati e le forze equivalenti. Le colonne nelle matrici corrispondono alla forma modale; le righe corrispondono al punto di massa.

u = [\begin{matrix} 11.410 & 1.650 \\ 18.462 & - 1.020 \end{matrix}] mm

Spostamenti risultanti

F = [\begin{matrix} 209.195 & 207.295 \\ 338.484 & - 128.115 \end{matrix}] kN

Risultato delle forze equivalenti

Impostazioni RFEM e RSTAB

Modellato in RFEM 6.11, RSTAB 9.11 e RFEM 5.39 (RF-DYNAM Pro), RSTAB 8.39 (DYNAM Pro)
È considerata un'analisi lineare geometrica
La massa è considerata nella direzione X
Si genera una matrice di massa diagonale
La radice del polinomio caratteristico è usata come metodo di soluzione

Risultati

Quantità	Soluzione Analitica	RFEM 6	Rapporto	RFEM 5 RF-DYNAM Pro	Rapporto
u_1,1 [mm]	11.410	11.411	1.000	-	-
u_2,1 [mm]	18.462	18.464	1.000	-	-
u_1,2 [mm]	1.650	1.650	1.000	-	-
u_2,2 [mm]	-1.020	-1.020	1.000	-	-
F_1,1 [kN]	209.195	209.160	1.000	209.177	1.000
F_2,1 [kN]	338.484	338.440	1.000	338.456	1.000
F_1,2 [kN]	207.295	207.300	1.000	207.295	1.000
F_2,2 [kN]	-128.115	-128.120	1.000	-128.115	1.000

Nota: Le forze equivalenti in RFEM 6 sono calcolate dalle forze interne delle travi rigide.

Quantità	Soluzione Analitica	RSTAB 9	Rapporto	RSTAB 8 DYNAM Pro	Rapporto
u_1,1 [mm]	11.410	11.410	1.000	-	-
u_2,1 [mm]	18.462	18.462	1.000	-	-
u_1,2 [mm]	1.650	1.650	1.000	-	-
u_2,2 [mm]	-1.020	-1.020	1.000	-	-
F_1,1 [kN]	209.195	209.180	1.000	209.214	1.000
F_2,1 [kN]	338.484	338.460	1.000	338513	1.000
F_1,2 [kN]	207.295	207.300	1.000	207.292	1.000
F_2,2 [kN]	-128.115	-128.120	1.000	-128.114	1.000

Nota: Le forze equivalenti in RSTAB 9 sono calcolate dalle forze interne delle travi rigide.

Modello 000159 | Verification Example 000074 | 1

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Esempio di verifica 000074 | 1

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