53x

2026-05-04

VE0085 | Тонкостенный конический сосуд с гидростатическим давлением

Описание

Тонкостенный конический сосуд высотой h и углом при вершине 2φ заполнен водой. Таким образом, он нагружен гидростатическим давлением согласно следующей схеме. Пренебрегая собственным весом, определите напряжения σ₁ и σ₂ в контрольной точке на высоте h₀ = 1.000 m.

Материал	Изотропный линейно-упругий	Модуль упругости	E	210000.000	MPa
Материал	Изотропный линейно-упругий	Коэффициент Пуассона	ν	0.296	-
Геометрия	Конический сосуд	Высота сосуда	h	2.000	m
		Толщина оболочки	t	1.000	mm
		Угол сосуда	φ	π/6	rad
Нагрузка	Гидростатическое давление	Удельный вес воды	γ	9810.000	N/m³

Конический сосуд с тонкими стенками и гидростатическим давлением

Тонкостенный конический сосуд с гидростатическим давлением

Аналитическое решение

Аналитическое решение основано на теории тонкостенных сосудов. Напряжённое состояние тонкостенного сосуда описывается уравнением Лапласа:

\frac{σ_{1}}{R_{1}} + \frac{σ_{2}}{R_{2}} = \frac{p}{t}

Уравнение Лапласа

где σ₁, σ₂ — напряжения соответственно в направляющей линии поверхности и в окружном направлении, а R₁, R₂ — радиусы в соответствующих направлениях. Указанные напряжения соответствуют главным напряжениям. Давление p в данном случае равно гидростатическому давлению:

p = h ρ g = γ h

Гидростатическое давление

Радиус R₁ для конического сосуда равен R₁ ≈ ∞. Радиус R₂ можно выразить, учитывая r = z tan φ:

R_{2} = \frac{r}{\cos φ} = z \frac{s i n φ}{\cos^{2} φ}

Функция радиуса для конического сосуда

Эскиз использованных размеров конического сосуда

Схема используемых размеров конического сосуда

Давление на глубине h - z равно:

p (z) = γ (h - z)

Функция давления

Подставляя в уравнение Лапласа, можно получить окружное напряжение σ₂:

σ_{2} = \frac{γ (h - z) z \sin φ}{t \cos^{2} φ}

Окружное напряжение

Для определения оставшегося напряжения σ₁ необходимо задать дополнительное уравнение. Внутренние и внешние силы должны быть равны. Кроме того, внешняя сила Q, обусловленная гидростатическим давлением, равна силе тяжести, вызванной высотой столба воды:

Q = σ_{1} 2 π r t \cos φ

Q = γ [π r^{2} (h - z) + \frac{1}{3} π r^{2} z]

Уравнения касательного напряжения

Тогда искомое напряжение σ₁ можно определить:

σ_{1} = \frac{γ z \sin φ}{2 t \cos^{2} φ} (h - \frac{2}{3} z)

Тангенциальное напряжение

Для контрольной точки на высоте z = 1.000 m вышеуказанные величины можно вычислить:

σ_{1} \approx 9.249 MPa

σ_{2} \approx 13.873 MPa

Конический сосуд - Результаты

Настройки RFEM

Смоделировано в RFEM 6.13 и RFEM 5.39
Размер элемента l_FE = 0.025 m
Используется изотропный линейно-упругий материал
Используется теория изгиба пластин Кирхгофа

Примечание: Гидростатическое давление смоделировано с помощью Free Rectangular Load. Давление на верхнем крае (z = 2.000 m) составляет p₁ = 0.000 N/m², а на нижнем (z = 0.000 m) — p₂ = -19620.000 N/m².

Определение свободной прямоугольной нагрузки в RFEM 6

Результаты

Распределение напряжений по Мизесу, свободная прямоугольная нагрузка для гидростатического давления и расположение контрольной точки в RFEM 6

Величина	Теория [MPa]	RFEM 6 [MPa]	Отношение [-]	RFEM 5 [MPa]	Отношение [-]
σ₁	9.249	9.265	1.002	9.264	1.002
σ₂	13.873	13.980	1.008	13.982	1.008

Примечание: Напряжения σ₁ и σ₂ определяются в средней поверхности конического сосуда. Соответствующие напряжения в RFEM обозначены как σ_2,m и σ_1,m соответственно.

Модель 000183 | Пример проверки 000085 | 1

731x

11x

Расчетный пример 000085 | 1

;