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4. Mai 2026

VE0085 | Dünnwandiger konischer Behälter mit hydrostatischem Druck

Beschreibung

Ein dünnwandiges konisches Gefäß der Höhe h und des Spitzenwinkels 2φ ist mit Wasser gefüllt. Es wird daher durch hydrostatischen Druck gemäß der folgenden Skizze belastet. Unter Vernachlässigung des Eigengewichts sind die Spannungen σ₁ und σ₂ am Prüfpunkt in der Höhe h₀ = 1.000 m zu bestimmen.

Material	Isotrop linear-elastisch	Elastizitätsmodul	E	210000.000	MPa
Material	Isotrop linear-elastisch	Querkontraktionszahl	ν	0.296	-
Geometrie	Konisches Gefäß	Gefäßhöhe	h	2.000	m
		Schalendicke	t	1.000	mm
		Gefäßwinkel	φ	π/6	rad
Last	Hydrostatischer Druck	Spezifisches Gewicht des Wassers	γ	9810.000	N/m³

Dünnwandiges konisches Gefäß mit hydrostatischem Druck

Dünnwandiger konischer Behälter mit hydrostatischem Druck

Analytische Lösung

Die analytische Lösung basiert auf der Theorie dünnwandiger Behälter. Der Spannungszustand des dünnwandigen Behälters wird durch die Laplace-Gleichung beschrieben:

\frac{σ_{1}}{R_{1}} + \frac{σ_{2}}{R_{2}} = \frac{p}{t}

Laplace-Gleichung

wobei σ₁, σ₂ die Spannungen in Mantellinien- bzw. Umfangsrichtung und R₁, R₂ die Radien in den entsprechenden Richtungen sind. Die genannten Spannungen entsprechen den Hauptspannungen. Der Druck p ist in diesem Fall gleich dem hydrostatischen Druck:

p = h ρ g = γ h

Hydrostatischer Druck

Der Radius R₁ des konischen Gefäßes ist gleich R₁ ≈ ∞. Der Radius R₂ kann unter Berücksichtigung von r = z tan φ ausgedrückt werden:

R_{2} = \frac{r}{\cos φ} = z \frac{s i n φ}{\cos^{2} φ}

Radiusfunktion für konischen Behälter

Skizze der verwendeten Abmessungen des konischen Behälters

Skizze der verwendeten Abmessungen eines konischen Behälters

Der Druck in der Tiefe h - z ist gleich:

p (z) = γ (h - z)

Druckfunktion

Durch Einsetzen in die Laplace-Gleichung kann die Umfangsspannung σ₂ ermittelt werden:

σ_{2} = \frac{γ (h - z) z \sin φ}{t \cos^{2} φ}

Umfangsspannung

Zur Ermittlung der verbleibenden Spannung σ₁ muss eine zusätzliche Gleichung definiert werden. Die inneren und äußeren Kräfte müssen gleich sein. Außerdem ist die äußere Kraft Q infolge des hydrostatischen Drucks gleich der Gewichtskraft, die durch die Höhe der Wassersäule verursacht wird:

Q = σ_{1} 2 π r t \cos φ

Q = γ [π r^{2} (h - z) + \frac{1}{3} π r^{2} z]

Gleichungen für die Tangentialspannung

Die gesuchte Spannung σ₁ kann dann bestimmt werden:

σ_{1} = \frac{γ z \sin φ}{2 t \cos^{2} φ} (h - \frac{2}{3} z)

Tangentialspannung

Für den Prüfpunkt in der Höhe z = 1.000 m können die oben genannten Größen berechnet werden:

σ_{1} \approx 9.249 MPa

σ_{2} \approx 13.873 MPa

Konisches Behälter - Ergebnisse

RFEM-Einstellungen

Modelliert in RFEM 6.13 und RFEM 5.39
Elementgröße l_FE = 0.025 m
Isotrop linear-elastisches Material wird verwendet
Kirchhoffsche Plattentheorie wird verwendet

Hinweis: Der hydrostatische Druck wird mithilfe einer freien Rechteckslast modelliert. Der Druck an der oberen Kante (z = 2.000 m) beträgt p₁ = 0.000 N/m² und an der unteren Kante (z = 0.000 m) p₂ = -19620.000 N/m².

Freie rechteckige Lastdefinition in RFEM 6

Ergebnisse

Von-Mises-Spannungsverteilung, Freie Rechtecklast für den hydrostatischen Druck und
der Prüfpunktsort in RFEM 6

Von-Mises-Spannungsverteilung, Freie Rechtecklast für den hydrostatischen Druck und die Prüfpunktlage in RFEM 6

Größe	Theorie [MPa]	RFEM 6 [MPa]	Verhältnis [-]	RFEM 5 [MPa]	Verhältnis [-]
σ₁	9.249	9.265	1.002	9.264	1.002
σ₂	13.873	13.980	1.008	13.982	1.008

Bemerkung: Die Spannungen σ₁ und σ₂ werden an der Mittelfläche des konischen Gefäßes ausgewertet. Die entsprechenden Spannungen in RFEM sind σ_2,m bzw. σ_1,m.

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Verifikationsbeispiel 000085 | 1

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