4. Mai 2026

VE0085 | Dünnwandiger konischer Behälter mit hydrostatischem Druck

Beschreibung

Ein dünnwandiger, konischer Behälter mit der Höhe h und dem Spitzenwinkel 2φ ist mit Wasser gefüllt. Er steht somit unter hydrostatischem Druck, wie in der folgenden Skizze dargestellt. Bestimmen Sie unter Vernachlässigung des Eigengewichts die Spannungen σ₁ und σ₂ am Prüfpunkt in der Höhe h₀ = 1,000 m.

Material	Isotrop linear elastisch	Elastizitätsmodul	E	210000.000	MPa
Material	Isotrop linear elastisch	Querdehnzahl	ν	0.296	-
Geometrie	Konischer Behälter	Behälterhöhe	h	2.000	m
		Schalendicke	t	1.000	mm
		Behälterwinkel	φ	π/6	rad
Last	Hydrostatischer Druck	Spezifisches Gewicht des Wassers	γ	9810.000	N/m³

Dünnwandiger konischer Behälter mit hydrostatischem Druck

Analytische Lösung

Die analytische Lösung basiert auf der Theorie dünnwandiger Behälter. Der Spannungszustand des dünnwandigen Behälters wird durch die Laplace-Gleichung beschrieben:

\frac{σ_{1}}{R_{1}} + \frac{σ_{2}}{R_{2}} = \frac{p}{t}

Laplace-Gleichung

wobei σ₁ und σ₂ die Spannungen in Flächenlinien- bzw. Umfangsrichtung sind und R₁ sowie R₂ die Radien in den entsprechenden Richtungen sind. Die genannten Spannungen entsprechen den Hauptspannungen. Der Druck p entspricht in diesem Fall dem hydrostatischen Druck:

p = h ρ g = γ h

Hydrostatischer Druck

Der Radius R₁ des konischen Behälters ist gleich R₁ ≈ ∞. Der Radius R₂ lässt sich unter Berücksichtigung von r = z tan φ wie folgt ausdrücken:

R_{2} = \frac{r}{\cos φ} = z \frac{s i n φ}{\cos^{2} φ}

Radiusfunktion für konischen Behälter

Skizze der verwendeten Abmessungen des konischen Behälters

Der Druck in der Höhe h - z ist gleich:

p (z) = γ (h - z)

Druckfunktion

Durch Einsetzen in die Laplace-Gleichung kann die Umfangsspannung σ₂ ermittelt werden:

σ_{2} = \frac{γ (h - z) z \sin φ}{t \cos^{2} φ}

Umfangsspannung

Es muss eine zusätzliche Gleichung definiert werden, um die Restspannung σ₁ zu bestimmen. Die inneren und äußeren Kräfte müssen gleich sein. Darüber hinaus ist die äußere Kraft Q aufgrund des hydrostatischen Drucks gleich der durch die Höhe der Wassersäule verursachten Schwerkraft:

Q = σ_{1} 2 π r t \cos φ

Q = γ [π r^{2} (h - z) + \frac{1}{3} π r^{2} z]

Gleichungen für die Tangentialspannung

Die gewünschte Spannung σ₁ lässt sich dann wie folgt bestimmen:

σ_{1} = \frac{γ z \sin φ}{2 t \cos^{2} φ} (h - \frac{2}{3} z)

Tangentialspannung

Für den Prüfpunkt in der Höhe z = 1,000 m lassen sich die oben genannten Größen berechnen:

σ_{1} \approx 9.249 MPa

σ_{2} \approx 13.873 MPa

Konischer Behälter - Ergebnisse

RFEM-Einstellungen

Modelliert in RFEM 6.13 und RFEM 5.39
Elementgröße l_FE = 0,025 m
Isotrop linear elastisches Material wird verwendet
Platten-Biegetheorie nach Kirchhoff wird verwendet

Hinweis: Der hydrostatische Druck wird mithilfe einer „freien Rechtecklast“ modelliert. Der Druck an der Oberkante (z = 2,000 m) beträgt p₁ = 0,000 N/m² und an der Unterkante (z = 0,000 m) beträgt er p₂ = -19620,000 N/m².

Definition der freien Recktecklast in RFEM 6

Ergebnisse

Von-Mises-Spannungsverteilung, freie Rechtecklast für den hydrostatischen Druck und die Lage des Prüfpunkts in RFEM 6

Größe	Theorie [MPa]	RFEM 6 [MPa]	Verhältnis [-]	RFEM 5 [MPa]	Verhältnis [-]
σ₁	9.249	9.265	1.002	9.264	1.002
σ₂	13.873	13.980	1.008	13.982	1.008

Anmerkung: Die Spannungen σ₁ und σ₂ werden an der mittleren Fläche des konischen Behälters ausgewertet. Die entsprechenden Spannungen in RFEM sind σ_2,m bzw. σ_1,m.

Verifikationsbeispiel 000085 | 1

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