53x

4.5.2026

VE0085 | Tenkostěnná kuželová nádoba s hydrostatickým tlakem

Popis

Tenkostěnná kuželová nádoba o výšce h a vrcholovém úhlu 2φ je naplněna vodou. Je tedy zatížena hydrostatickým tlakem podle následujícího náčrtu. Při zanedbání vlastní tíhy určete napětí σ₁ a σ₂ v zkušebním bodě ve výšce h₀ = 1.000 m.

Materiál	Izotropní lineárně elastický	Modul pružnosti v tahu	E	210000.000	MPa
Materiál	Izotropní lineárně elastický	Poissonovo číslo	ν	0.296	-
Geometrie	Kuželová nádoba	Výška nádoby	h	2.000	m
		Tloušťka stěny	t	1.000	mm
		Úhel nádoby	φ	π/6	rad
Zatížení	Hydrostatický tlak	Specifická tíha vody	γ	9810.000	N/m³

Tenkostěnná kuželová nádoba s hydrostatickým tlakem

Analytické řešení

Analytické řešení je založeno na teorii tenkostěnných nádob. Napjatost tenkostěnné nádoby je popsána Laplaceovou rovnicí:

\frac{σ_{1}}{R_{1}} + \frac{σ_{2}}{R_{2}} = \frac{p}{t}

Laplaceova rovnice

kde σ₁, σ₂ jsou napětí v podélném směru a v obvodovém směru, a R₁, R₂ jsou poloměry v odpovídajících směrech. Uvedená napětí odpovídají hlavním napětím. Tlak p je v tomto případě roven hydrostatickému tlaku:

p = h ρ g = γ h

Hydrostatický tlak

Poloměr R₁ pro kuželovou nádobu je roven R₁ ≈ ∞. Poloměr R₂ lze při zohlednění r = z tan φ vyjádřit takto:

R_{2} = \frac{r}{\cos φ} = z \frac{s i n φ}{\cos^{2} φ}

Funkce poloměru pro kuželovou nádobu

Náčrt použitých rozměrů kuželové nádoby

Tlak v hloubce h - z je roven:

p (z) = γ (h - z)

Tlaková funkce

Dosazením do Laplaceovy rovnice lze získat obvodové napětí σ₂:

σ_{2} = \frac{γ (h - z) z \sin φ}{t \cos^{2} φ}

Obvodové napětí

Pro určení zbývajícího napětí σ₁ je nutné definovat další rovnici. Vnitřní a vnější síly musí být v rovnováze. Vnější síla Q v důsledku hydrostatického tlaku je navíc rovna tíhové síle způsobené výškou vodního sloupce:

Q = σ_{1} 2 π r t \cos φ

Q = γ [π r^{2} (h - z) + \frac{1}{3} π r^{2} z]

Rovnice pro tangenciální napětí

Požadované napětí σ₁ lze poté určit:

σ_{1} = \frac{γ z \sin φ}{2 t \cos^{2} φ} (h - \frac{2}{3} z)

Tangenciální napětí

Pro zkušební bod ve výšce z = 1.000 m lze výše uvedené veličiny vypočítat:

σ_{1} \approx 9.249 MPa

σ_{2} \approx 13.873 MPa

Kónická nádoba - Výsledky

Nastavení RFEM

Modelováno v RFEM 6.13 a RFEM 5.39
Velikost prvku l_FE = 0.025 m
Použit je izotropní lineárně elastický materiál
Použita je Kirchhoffova teorie ohybu desek

Poznámka: Hydrostatický tlak je modelován pomocí Volného obdélníkového zatížení. Tlak na horní hraně (z = 2.000 m) je p₁ = 0.000 N/m² a na spodní hraně (z = 0.000 m) je p₂ = -19620.000 N/m².

Volná definice obdélníkového zatížení v RFEM 6

Výsledky

Rozložení napětí podle Von Mises, volné obdélníkové zatížení pro hydrostatický tlak a umístění zkušebního bodu v RFEM 6

Velikost	Teorie [MPa]	RFEM 6 [MPa]	Poměr [-]	RFEM 5 [MPa]	Poměr [-]
σ₁	9.249	9.265	1.002	9.264	1.002
σ₂	13.873	13.980	1.008	13.982	1.008

Poznámka: Napětí σ₁ a σ₂ jsou vyhodnocena ve střednicové ploše kuželové nádoby. Odpovídající napětí v RFEM jsou σ_2,m a σ_1,m.

Model 000183 | Ověřovací příklad 000085 | 1

731x

11x

Ověřovací příklad 000085 | 1

;