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2026-05-04

VE0085 | Serbatoio conico a parete sottile con pressione idrostatica

Descrizione

Un recipiente conico a parete sottile di altezza h e angolo di vertice 2φ è riempito d'acqua. È quindi soggetto a una pressione idrostatica secondo lo schizzo seguente. Trascurando il peso proprio, determinare le tensioni σ₁ e σ₂ nel punto di verifica all'altezza h₀ = 1.000 m.

Materiale	Isotropo Lineare Elastico	Modulo di elasticità	E	210000.000	MPa
Materiale	Isotropo Lineare Elastico	Coefficiente di Poisson	ν	0.296	-
Geometria	Recipiente conico	Altezza del recipiente	h	2.000	m
		Spessore della parete	t	1.000	mm
		Angolo del recipiente	φ	π/6	rad
Carico	Pressione idrostatica	Peso specifico dell'acqua	γ	9810.000	N/m³

Recipiente Conico a Parete Sottile con Pressione Idrostatica

Soluzione analitica

La soluzione analitica si basa sulla teoria dei recipienti a parete sottile. Lo stato tensionale del recipiente a parete sottile è descritto dall'equazione di Laplace:

\frac{σ_{1}}{R_{1}} + \frac{σ_{2}}{R_{2}} = \frac{p}{t}

Equazione di Laplace

dove σ₁, σ₂ sono rispettivamente le tensioni nella direzione della generatrice e nella direzione circonferenziale, e R₁, R₂ sono i raggi nelle corrispondenti direzioni. Le tensioni menzionate corrispondono alle tensioni principali. La pressione p è, in questo caso, pari alla pressione idrostatica:

p = h ρ g = γ h

Pressione idrostatica

Il raggio R₁ per il recipiente conico è pari a R₁ ≈ ∞. Il raggio R₂ può essere espresso, considerando r = z tan φ:

R_{2} = \frac{r}{\cos φ} = z \frac{s i n φ}{\cos^{2} φ}

Funzione raggio per recipiente conico

Schizzo delle dimensioni utilizzate del recipiente conico

La pressione alla profondità h - z è pari a:

p (z) = γ (h - z)

Funzione di Pressione

Sostituendo nell'equazione di Laplace, si ottiene la tensione circonferenziale σ₂:

σ_{2} = \frac{γ (h - z) z \sin φ}{t \cos^{2} φ}

Tensione Circonferenziale

Per determinare la tensione rimanente σ₁ deve essere definita un'equazione aggiuntiva. Le forze interne ed esterne devono essere uguali. Inoltre, la forza esterna Q dovuta alla pressione idrostatica è uguale alla forza di gravità causata dall'altezza della colonna d'acqua:

Q = σ_{1} 2 π r t \cos φ

Q = γ [π r^{2} (h - z) + \frac{1}{3} π r^{2} z]

Equazioni per la Tensione Tangenziale

La tensione desiderata σ₁ può quindi essere determinata:

σ_{1} = \frac{γ z \sin φ}{2 t \cos^{2} φ} (h - \frac{2}{3} z)

Tensione tangenziale

Per il punto di verifica all'altezza z = 1.000 m, le grandezze sopra menzionate possono essere calcolate:

σ_{1} \approx 9.249 MPa

σ_{2} \approx 13.873 MPa

Recipiente Conico - Risultati

Impostazioni RFEM

Modellato in RFEM 6.13 e RFEM 5.39
Dimensione dell'elemento l_FE = 0.025 m
Si utilizza un materiale isotropo lineare elastico
Si utilizza la teoria di flessione delle piastre di Kirchhoff

Nota: La pressione idrostatica è modellata mediante Carico Rettangolare Libero. La pressione al bordo superiore (z = 2.000 m) è p₁ = 0.000 N/m² e al bordo inferiore (z = 0.000 m) è p₂ = -19620.000 N/m².

Definizione di carico rettangolare libero in RFEM 6

Definizione del carico rettangolare libero in RFEM 6

Risultati

Distribuzione delle tensioni di Von Mises, carico rettangolare libero per la pressione idrostatica e la posizione del punto di prova in RFEM 6

Grandezza	Teoria [MPa]	RFEM 6 [MPa]	Rapporto [-]	RFEM 5 [MPa]	Rapporto [-]
σ₁	9.249	9.265	1.002	9.264	1.002
σ₂	13.873	13.980	1.008	13.982	1.008

Osservazione: Le tensioni σ₁ e σ₂ sono valutate sulla superficie media del recipiente conico. Le tensioni corrispondenti in RFEM sono rispettivamente σ_2,m e σ_1,m.

Modello 000183 | Esempio di verifica 000085 | 1

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Esempio di verifica 000085 | 1

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