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2026-05-04

VE0085 | 带静水压力的薄壁锥形容器

一个高度为 h、顶角为 2φ 的薄壁锥形容器充满了水。因此，它承受如下示意图所示的静水压力。在忽略自重的情况下，求位于高度 h₀ = 1.000 m 处测试点的应力 σ₁ 和 σ₂。

解析解基于薄壁容器理论。薄壁容器的应力状态由拉普拉斯方程描述：

\frac{σ_{1}}{R_{1}} + \frac{σ_{2}}{R_{2}} = \frac{p}{t}

拉普拉斯方程

其中 σ₁、σ₂ 分别为母线方向应力和环向应力，R₁、R₂ 为相应方向的曲率半径。上述应力对应于主应力。在此情况下，压力 p 等于静水压力：

p = h ρ g = γ h

静水压力

锥形容器的半径 R₁ 等于 R₁ ≈ ∞。考虑 r = z tan φ，可得半径 R₂：

R_{2} = \frac{r}{\cos φ} = z \frac{s i n φ}{\cos^{2} φ}

锥形容器使用尺寸示意图

深度 h - z 处的压力等于：

p (z) = γ (h - z)

压力函数

代入拉普拉斯方程后，可得到环向应力 σ₂：

σ_{2} = \frac{γ (h - z) z \sin φ}{t \cos^{2} φ}

环向应力

为了求得其余应力 σ₁，还需定义一个附加方程。内力和外力必须相等。此外，由静水压力引起的外力 Q 等于由水柱高度产生的重力：

Q = σ_{1} 2 π r t \cos φ

Q = γ [π r^{2} (h - z) + \frac{1}{3} π r^{2} z]

切向应力公式

随后即可确定所需应力 σ₁：

σ_{1} = \frac{γ z \sin φ}{2 t \cos^{2} φ} (h - \frac{2}{3} z)

切向应力

对于位于高度 z = 1.000 m 的测试点，可计算上述量：

σ_{1} \approx 9.249 MPa

σ_{2} \approx 13.873 MPa

锥形容器 - 结果

注：静水压力通过自由矩形荷载建模。顶边（z = 2.000 m）处的压力为 p₁ = 0.000 N/m²，底边（z = 0.000 m）处的压力为 p₂ = -19620.000 N/m²。

RFEM 6 中自由矩形荷载定义

备注：应力 σ₁ 和 σ₂ 取于锥形容器的中面。RFEM 中对应的应力分别为 σ_2,m 和 σ_1,m。

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