53x

2026-05-04

VE0085 | Smukłonaczyniowy zbiornik stożkowy z ciśnieniem hydrostatycznym

Opis

Cienkościenny zbiornik stożkowy o wysokości h i kącie wierzchołkowym 2φ jest wypełniony wodą. Jest zatem obciążony ciśnieniem hydrostatycznym zgodnie z poniższym szkicem. Pomijając ciężar własny, należy wyznaczyć naprężenia σ₁ i σ₂ w punkcie badawczym na wysokości h₀ = 1.000 m.

Materiał	Izotropowy liniowo-sprężysty	Moduł sprężystości	E	210000.000	MPa
Materiał	Izotropowy liniowo-sprężysty	Współczynnik Poissona	ν	0.296	-
Geometria	Zbiornik stożkowy	Wysokość zbiornika	h	2.000	m
		Grubość powłoki	t	1.000	mm
		Kąt zbiornika	φ	π/6	rad
Obciążenie	Ciśnienie hydrostatyczne	Ciężar właściwy wody	γ	9810.000	N/m³

Cienkościenne naczynie stożkowe z ciśnieniem hydrostatycznym

Cienkościenny zbiornik stożkowy z ciśnieniem hydrostatycznym

Rozwiązanie analityczne

Rozwiązanie analityczne opiera się na teorii zbiorników cienkościennych. Stan naprężenia cienkościennego zbiornika opisuje równanie Laplace’a:

\frac{σ_{1}}{R_{1}} + \frac{σ_{2}}{R_{2}} = \frac{p}{t}

Równanie Laplace'a

gdzie σ₁, σ₂ są odpowiednio naprężeniami w kierunku linii powierzchni oraz w kierunku obwodowym, a R₁, R₂ są promieniami w odpowiadających im kierunkach. Wspomniane naprężenia odpowiadają naprężeniom głównym. Ciśnienie p jest w tym przypadku równe ciśnieniu hydrostatycznemu:

p = h ρ g = γ h

Ciśnienie hydrostatyczne

Promień R₁ dla zbiornika stożkowego jest równy R₁ ≈ ∞. Promień R₂ można wyrazić, przyjmując r = z tan φ:

R_{2} = \frac{r}{\cos φ} = z \frac{s i n φ}{\cos^{2} φ}

Funkcja promienia dla zbiornika stożkowego

Szkic wykorzystanych wymiarów zbiornika stożkowego

Szkic użytych wymiarów naczynia stożkowego

Ciśnienie na głębokości h - z jest równe:

p (z) = γ (h - z)

Funkcja ciśnienia

Po podstawieniu do równania Laplace’a można wyznaczyć naprężenie obwodowe σ₂:

σ_{2} = \frac{γ (h - z) z \sin φ}{t \cos^{2} φ}

Naprężenie obwodowe

Aby otrzymać pozostałe naprężenie σ₁, należy zdefiniować dodatkowe równanie. Siły wewnętrzne i zewnętrzne muszą być równe. Ponadto siła zewnętrzna Q wynikająca z ciśnienia hydrostatycznego jest równa sile ciężkości wywołanej wysokością słupa wody:

Q = σ_{1} 2 π r t \cos φ

Q = γ [π r^{2} (h - z) + \frac{1}{3} π r^{2} z]

Równania naprężenia stycznego

Wymagane naprężenie σ₁ można następnie wyznaczyć:

σ_{1} = \frac{γ z \sin φ}{2 t \cos^{2} φ} (h - \frac{2}{3} z)

Naprężenie styczne

Dla punktu badawczego na wysokości z = 1.000 m można obliczyć powyższe wielkości:

σ_{1} \approx 9.249 MPa

σ_{2} \approx 13.873 MPa

Zbiornik stożkowy - Wyniki

Ustawienia RFEM

Zamodelowano w RFEM 6.13 i RFEM 5.39
Wielkość elementu l_FE = 0.025 m
Zastosowano izotropowy liniowo-sprężysty materiał
Zastosowano teorię zginania płyt Kirchhoffa

Uwaga: Ciśnienie hydrostatyczne zamodelowano za pomocą swobodnego obciążenia prostokątnego. Ciśnienie na górnej krawędzi (z = 2.000 m) wynosi p₁ = 0.000 N/m², a na dole (z = 0.000 m) wynosi p₂ = -19620.000 N/m².

Swobodna definicja obciążenia prostokątnego w RFEM 6

Wyniki

Rozkład naprężeń von Misesa, wolne obciążenie prostokątne dla ciśnienia hydrostatycznego oraz
lokalizacja punktu kontrolnego w RFEM 6

Rozkład naprężeń Hubera-Misesa, swobodny prostokątny obciążenie dla ciśnienia hydrostatycznego oraz lokalizacja punktu testowego w RFEM 6

Wielkość	Teoria [MPa]	RFEM 6 [MPa]	Stosunek [-]	RFEM 5 [MPa]	Stosunek [-]
σ₁	9.249	9.265	1.002	9.264	1.002
σ₂	13.873	13.980	1.008	13.982	1.008

Uwaga: Naprężenia σ₁ i σ₂ są wyznaczane na powierzchni środkowej zbiornika stożkowego. Odpowiadające im naprężenia w RFEM to odpowiednio σ_2,m i σ_1,m.

Model 000183 | Przykład weryfikacyjny 000085 | 1

731x

11x

Przykład weryfikacyjny 000085 | 1

;