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04.05.2026

VE0085 | Récipient conique à paroi mince avec pression hydrostatique

Description

Un réservoir conique à paroi mince de hauteur h et d’angle au sommet 2φ est rempli d’eau. Il est donc soumis à une pression hydrostatique conformément au croquis suivant. En négligeant son poids propre, déterminer les contraintes σ₁ et σ₂ au point de contrôle à la hauteur h₀ = 1.000 m.

Matériau	Isotrope linéaire élastique	Module d’élasticité	E	210000.000	MPa
Matériau	Isotrope linéaire élastique	Coefficient de Poisson	ν	0.296	-
Géométrie	Réservoir conique	Hauteur du réservoir	h	2.000	m
		Épaisseur de paroi	t	1.000	mm
		Angle du réservoir	φ	π/6	rad
Charge	Pression hydrostatique	Poids volumique de l’eau	γ	9810.000	N/m³

Vase conique à paroi mince avec pression hydrostatique

Récipient conique à paroi mince avec pression hydrostatique

Solution analytique

La solution analytique est basée sur la théorie des réservoirs à paroi mince. L’état de contrainte du réservoir à paroi mince est décrit par l’équation de Laplace :

\frac{σ_{1}}{R_{1}} + \frac{σ_{2}}{R_{2}} = \frac{p}{t}

Équation de Laplace

où σ₁, σ₂ sont respectivement les contraintes dans la direction de la génératrice et dans la direction circonférentielle, et R₁, R₂ sont les rayons dans les directions correspondantes. Les contraintes mentionnées correspondent aux contraintes principales. La pression p est, dans ce cas, égale à la pression hydrostatique :

p = h ρ g = γ h

Pression hydrostatique

Le rayon R₁ du réservoir conique est égal à R₁ ≈ ∞. Le rayon R₂ peut être exprimé, en considérant r = z tan φ :

R_{2} = \frac{r}{\cos φ} = z \frac{s i n φ}{\cos^{2} φ}

Fonction de rayon pour récipient conique

Croquis des dimensions utilisées du réservoir conique

La pression à la profondeur h - z est égale à :

p (z) = γ (h - z)

Fonction de pression

En substituant dans l’équation de Laplace, on obtient la contrainte circonférentielle σ₂ :

σ_{2} = \frac{γ (h - z) z \sin φ}{t \cos^{2} φ}

Contrainte Circonférentielle

Une équation supplémentaire doit être définie afin d’obtenir la contrainte restante σ₁. Les forces internes et externes doivent être égales. En outre, la force externe Q due à la pression hydrostatique est égale à la force de gravité causée par la hauteur de la colonne d’eau :

Q = σ_{1} 2 π r t \cos φ

Q = γ [π r^{2} (h - z) + \frac{1}{3} π r^{2} z]

Équations de contrainte tangentielle

La contrainte recherchée σ₁ peut alors être déterminée :

σ_{1} = \frac{γ z \sin φ}{2 t \cos^{2} φ} (h - \frac{2}{3} z)

Contrainte tangentielle

Pour le point de contrôle à la hauteur z = 1.000 m, les grandeurs mentionnées ci-dessus peuvent être calculées :

σ_{1} \approx 9.249 MPa

σ_{2} \approx 13.873 MPa

Récipient conique - Résultats

Paramètres RFEM

Modélisé dans RFEM 6.13 et RFEM 5.39
Taille d’élément l_FE = 0.025 m
Un matériau isotrope linéaire élastique est utilisé
La théorie de flexion des plaques de Kirchhoff est utilisée

Remarque : La pression hydrostatique est modélisée au moyen de la charge rectangulaire libre. La pression au bord supérieur (z = 2.000 m) est p₁ = 0.000 N/m² et au bord inférieur (z = 0.000 m) elle est p₂ = -19620.000 N/m².

Définition de charge rectangulaire libre dans RFEM 6

Résultats

Répartition des contraintes de Von Mises, Charge rectangulaire libre pour la pression hydrostatique et
l'emplacement du point de test dans RFEM 6

Distribution des contraintes de Von Mises, charge rectangulaire libre pour la pression hydrostatique et la position du point de contrôle dans RFEM 6

Grandeur	Théorie [MPa]	RFEM 6 [MPa]	Rapport [-]	RFEM 5 [MPa]	Rapport [-]
σ₁	9.249	9.265	1.002	9.264	1.002
σ₂	13.873	13.980	1.008	13.982	1.008

Remarque : Les contraintes σ₁ et σ₂ sont évaluées à la surface moyenne du réservoir conique. Les contraintes correspondantes dans RFEM sont respectivement σ_2,m et σ_1,m.

Modèle 000183 | Exemple de vérification 000085 | 1

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Exemple de vérification 000085 | 1

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