72x

2026-03-19

VE0087 | Изогнутая балка с распределённой нагрузкой

Описание

Изогнутая балка состоит из двух взаимно перпендикулярных балок длиной L и прямоугольным поперечным сечением w × h. На неё действует распределённая нагрузка p. Пренебрегая собственным весом, требуется определить максимальное напряжение σ_x,max на верхней поверхности горизонтальной балки.

Материал	Изотропный линейно-упругий	Модуль упругости	E	210000.000	МПа
Материал	Изотропный линейно-упругий	Коэффициент Пуассона	ν	0.296	-
Геометрия		Длина	L	1.000	м
		Ширина поперечного сечения	w	25.000	мм
		Высота поперечного сечения	h	50.000	мм
Нагрузка		Распределённая нагрузка	p	10.000	Н/мм

Изогнутая балка с распределённой нагрузкой

Аналитическое решение

Уравнения равновесия показывают, что заданная конструкция является статически неопределимой. Чтобы завершить систему уравнений, необходимо ввести дополнительное условие совместности деформаций.

x : A_{x} - B_{x} = 0,

z : p L - A_{z} - B_{z} = 0,

M_{A} : \frac{p L^{2}}{2} - B_{z} L - B_{x} L = 0

Уравнения равновесия

где A_x, A_z, B_x, B_z — соответствующие реакции опор. Недостающее уравнение определяется из условия нулевого прогиба в точке B в направлении z:

u_{z B} = 0

Условие нулевого прогиба

Изогнутая балка с распределённой нагрузкой – Диаграмма свободных тел

Изогнутая балка с распределенной нагрузкой - Диаграмма свободного тела

Общий прогиб v балок и изогнутых балок удобно определять с помощью интеграла Максвелла-Мора:

v = \frac{1}{E I_{y}} \int_{L} M (x) m (x) d x

Интеграл Максвелла-Мора

где I_y — момент инерции площади, M(x) — изгибающий момент, вызванный внешними силами, а m(x) — изгибающий момент, вызванный единичной силой. Следующие формулы задают эти изгибающие моменты в двух областях с координатой x₁:

x_{1} \in [0, L] :

M (x_{1}) = \frac{p x_{1}^{2}}{2} - B_{z} x_{1},

m (x_{1}) = x_{1}

Изгибающий момент в горизонтальной балке

и координатой x₂:

x_{2} \in [0, L] :

M (x_{2}) = \frac{p L^{2}}{2} - B_{x} x_{2} - B_{z} L,

m (x_{2}) = L - x_{2}

Изгибающий момент в вертикальной балке

Тогда прогиб точки B равен:

u_{z B} = \frac{1}{E I_{y}} (\int_{0}^{L} M (x_{1}) m (x_{1}) d x_{1} + \int_{0}^{L} M (x_{2}) m (x_{2}) d x_{2}) = 0

Прогиб в точке B

С учётом уравнений равновесия и условия прогиба реакции опор равны:

A_{x} = \frac{1}{16} p L,

A_{z} = \frac{9}{16} p L,

B_{x} = \frac{1}{16} p L,

B_{z} = \frac{7}{16} p L

Результат реакционных сил

Максимальное напряжение возникает в точке с максимальным изгибающим моментом M_max. Эта точка находится на горизонтальной балке на расстоянии:

x_{1} = \frac{7}{16} L

Положение максимального изгибающего момента

Горизонтальная балка также нагружена осевой реакцией B_x. Максимальное напряжение σ_x,max на верхней поверхности состоит из максимального изгибного напряжения и напряжения сжатия, вызванного осевой реакцией B_x, следовательно:

σ_{x, \max} = σ_{b, \max} + σ_{a} = \frac{6 M_{\max}}{w h^{2}} + \frac{- B_{x}}{w h} = - 92.375 MPa

Максимальное напряжение

Настройки RFEM

Смоделировано в RFEM 5.39 и RFEM 6.13

Размер элемента l_FE = 0.050 м

Число приращений: 10

Используется изотропный линейно-упругий материал

Сдвиговая жёсткость стержней отключена

Используется теория изгиба пластин Кирхгофа

Результаты

Элемент	Теория σ_x,max [МПа]	RFEM 6 σ_x,max [МПа]	Отношение [-]	RFEM 5 σ_x,max [МПа]	Отношение [-]
Стержень	- 92.375	- 91.774	0.993	- 91.774	0.993
Плита, горизонтальная		- 92.422	1.001	- 92.422	1.001
Плита, вертикальная		- 91.619	0.992	-	-
Тело		- 91.176	0.987	-	-

Примечание: для балок и горизонтальных пластин эффекты сдвига не учитываются. В случае вертикальных пластин и тел эти эффекты учитываются.

Результаты RFEM – Распределение напряжений вдоль изогнутой балки

Результаты в RFEM – распределение напряжений вдоль изогнутой балки

Результаты RFEM - поведение изгибающего момента вдоль изогнутой балки

Результаты RFEM – работа моментов изгиба вдоль изогнутой балки

Модель 000188 | Verification Example 000087 | 1

693x

15x

Контрольный пример 000087 | 1

;