19. März 2026

VE0087 | Gekrümmter Träger mit verteilter Belastung

Beschreibung

Ein gekrümmter Träger besteht aus zwei senkrechten Trägern der Länge L mit rechteckigem Querschnitt w × h. Er wird durch eine Streckenbelastung p belastet. Unter Vernachlässigung des Eigengewichts soll die maximale Spannung σ_x,max an der Oberseite des horizontalen Trägers bestimmt werden.

Material	Isotrop linear elastisch	Elastizitätsmodul	E	210000.000	MPa
Material	Isotrop linear elastisch	Querdehnzahl	ν	0.296	-
Geometrie		Länge	L	1.000	m
		Querschnittsbreite	w	25.000	mm
		Querschnittshöhe	h	50.000	mm
Last		Verteilte Belastung	p	10.000	N/mm

Gekrümmter Träger mit verteilter Belastung

Analytische Lösung

Die Gleichgewichtsgleichungen zeigen, dass die gegebene Konstruktion statisch unbestimmt ist. Um den Gleichungssatz zu vervollständigen, muss eine zusätzliche Kompatibilitätsbedingung aufgestellt werden.

x : A_{x} - B_{x} = 0,

z : p L - A_{z} - B_{z} = 0,

M_{A} : \frac{p L^{2}}{2} - B_{z} L - B_{x} L = 0

Gleichgewichtsgleichungen

wobei A_x, A_z, B_x, B_z die entsprechenden Reaktionskräfte sind. Die fehlende Gleichung wird durch die Bedingung der Nulldurchbiegung am Punkt B in z-Richtung definiert:

u_{z B} = 0

Bedingung der Null-Durchbiegung

Gekrümmter Balken mit Gleichlast - Freikörperbild

Die allgemeine Durchbiegung v von Trägern und gekrümmten Trägern kann bequem mithilfe des Maxwell-Mohr-Integrals bestimmt werden:

v = \frac{1}{E I_{y}} \int_{L} M (x) m (x) d x

Maxwell-Mohr-Integral

wobei I_y das Flächenträgheitsmoment ist, M(x) das durch die äußeren Kräfte verursachte Biegemoment und m(x) das durch die Einheitskraft verursachte Biegemoment ist. Die folgenden Formeln definieren diese Biegemomente in zwei Bereichen mit der Koordinate x₁:

x_{1} \in [0, L] :

M (x_{1}) = \frac{p x_{1}^{2}}{2} - B_{z} x_{1},

m (x_{1}) = x_{1}

Biegemoment in horizontalem Träger

und der Koordinate x₂:

x_{2} \in [0, L] :

M (x_{2}) = \frac{p L^{2}}{2} - B_{x} x_{2} - B_{z} L,

m (x_{2}) = L - x_{2}

Biegemoment in vertikalem Träger

Die Durchbiegung des Punktes B ist dann gleich:

u_{z B} = \frac{1}{E I_{y}} (\int_{0}^{L} M (x_{1}) m (x_{1}) d x_{1} + \int_{0}^{L} M (x_{2}) m (x_{2}) d x_{2}) = 0

Berechnung der Durchbiegung am Punkt B

Unter Berücksichtigung der Gleichgewichtsgleichungen und der Durchbiegungsbedingung ergeben sich folgende Reaktionskräfte:

A_{x} = \frac{1}{16} p L,

A_{z} = \frac{9}{16} p L,

B_{x} = \frac{1}{16} p L,

B_{z} = \frac{7}{16} p L

Ergebnis-Reaktionskräfte

Die maximale Spannung tritt an dem Punkt mit dem maximalen Biegemoment M_max auf. Dieser Punkt liegt auf dem horizontalen Träger in einem Abstand von:

x_{1} = \frac{7}{16} L

Lage des maximalen Biegemoments

Der horizontale Träger wird zudem durch die axiale Reaktionskraft B_x belastet. Die maximale Spannung σ_x,max an der Oberseite setzt sich aus der maximalen Biegespannung und der durch die axiale Reaktionskraft B_x verursachten Druckspannung zusammen, daher gilt:

σ_{x, \max} = σ_{b, \max} + σ_{a} = \frac{6 M_{\max}}{w h^{2}} + \frac{- B_{x}}{w h} = - 92.375 MPa

Maximale Spannung

RFEM-Einstellungen

Modelliert in RFEM 5.39 und RFEM 6.13

Elementgröße l_FE = 0.050 m

Anzahl der Inkremente: 10

Isotrop linear elastisches Material wird verwendet

Schubsteifigkeit der Stäbe ist deaktiviert

Kirchhoff-Biegetheorie für Platten wird verwendet

Ergebnisse

Entität	Theorie σ_x,max [MPa]	RFEM 6 σ_x,max [MPa]	Verhältnis [-]	RFEM 5 σ_x,max [MPa]	Verhältnis [-]
Stab	- 92.375	- 91.774	0.993	- 91.774	0.993
Platte, horizontal		- 92.422	1.001	- 92.422	1.001
Platte, vertikal		- 91.619	0.992	-	-
Volumenkörper		- 91.176	0.987	-	-

Anmerkung: Bei Trägern und horizontalen Platten werden Schubwirkungen vernachlässigt. Bei vertikalen Platten und Volumenkörpern werden diese Kräfte berücksichtigt.

RFEM-Ergebnisse – Spannungsverteilung entlang des gekrümmten Trägers

RFEM-Ergebnisse – Spannungsverteilung entlang gekrümmtem Träger

RFEM-Ergebnisse – Biegemomentenverhalten entlang des gekrümmten Trägers

RFEM-Ergebnisse – Biegemomentenverhalten entlang gekrümmtem Träger

Verifikationsbeispiel 000087 | 1

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