Beschreibung
Ein gekrümmter Balken besteht aus zwei senkrecht zueinander stehenden Balken mit der Länge L und dem rechteckigen Querschnitt w × h. Er wird durch eine verteilte Last p belastet. Unter Vernachlässigung des Eigengewichts besteht das Ziel darin, die maximale Spannung σx,max auf der Oberseite des horizontalen Balkens zu bestimmen.
| Material | Isotrop linear elastisch | Elastizitätsmodul | E | 210000.000 | MPa |
| Poissonzahl | ν | 0.296 | - | ||
| Geometrie | Länge | L | 1.000 | m | |
| Querschnittsbreite | w | 25.000 | mm | ||
| Querschnittshöhe | h | 50.000 | mm | ||
| Last | Verteilte Last | p | 10.000 | N/mm | |
Analytische Lösung
Die Gleichgewichtsbedingungen zeigen, dass das vorgegebene System statisch unbestimmt ist. Um das Gleichungssystem zu vervollständigen, muss eine zusätzliche Verträglichkeitsbedingung aufgestellt werden.
wobei Ax, Az, Bx, Bz die entsprechenden Reaktionskräfte sind. Die fehlende Gleichung wird mithilfe der Bedingung der Nullverschiebung im Punkt B in z-Richtung definiert:
Die allgemeine Durchbiegung v von Balken und gekrümmten Balken kann bequem mithilfe des Maxwell-Mohr-Integrals bestimmt werden:
wobei Iy das Flächenträgheitsmoment ist, M(x) das durch die äußeren Kräfte verursachte Biegemoment und m(x) das durch die Einheitskraft verursachte Biegemoment ist. Die folgenden Formeln definieren diese Biegemomente in zwei Bereichen mit der Koordinate x1:
und der Koordinate x2:
Die Durchbiegung des Punktes B ist dann gleich:
Unter Berücksichtigung der Gleichgewichtsbedingungen und der Durchbiegungsbedingung ergeben sich die Reaktionskräfte zu:
Die maximale Spannung tritt an dem Punkt mit dem maximalen Biegemoment Mmax auf. Dieser Punkt liegt am horizontalen Balken im Abstand:
Der horizontale Balken wird zusätzlich durch die axiale Reaktionskraft Bx belastet. Die maximale Spannung σx,max auf der Oberseite setzt sich aus der maximalen Biegespannung und der Druckspannung infolge der axialen Reaktionskraft Bx zusammen, also:
RFEM-Einstellungen
- Modelliert in RFEM 5.39 und RFEM 6.13
- Elementgröße lFE = 0.050 m
- Anzahl der Inkremente: 10
- Isotrop linear elastisches Material wird verwendet
- Schubsteifigkeit der Stäbe ist deaktiviert
- Kirchhoff-Biegetheorie für Platten wird verwendet
Ergebnisse
| Bauteil | Theorie σx,max [MPa] |
RFEM 6 σx,max [MPa] |
Verhältnis [-] |
RFEM 5 σx,max [MPa] |
Verhältnis [-] |
| Stab | - 92.375 | - 91.774 | 0.993 | - 91.774 | 0.993 |
| Platte, horizontal | - 92.422 | 1.001 | - 92.422 | 1.001 | |
| Platte, vertikal | - 91.619 | 0.992 | - | - | |
| Vollkörper | - 91.176 | 0.987 | - | - |
Bemerkung: Schubwirkungen werden für Stäbe und horizontale Platten vernachlässigt. Im Fall von vertikalen Platten und Vollkörpern werden diese Effekte berücksichtigt.
