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2026-03-19

VE0087 | 均布载荷作用下的弯曲梁

一根弯曲梁由两根互相垂直、长度为 L 的矩形截面 w × h 的梁组成。它承受一个分布荷载 p。忽略自重，目标是确定水平梁上表面最大应力 σ_x,max。

均布荷载作用下的弯曲梁

平衡方程表明，给定结构是静力超静定的。为补全方程组，必须建立一个附加的相容条件。

x : A_{x} - B_{x} = 0,

z : p L - A_{z} - B_{z} = 0,

M_{A} : \frac{p L^{2}}{2} - B_{z} L - B_{x} L = 0

力平衡方程

其中 A_x、A_z、B_x、B_z 为相应的支座反力。缺少的方程由 B 点在 z 方向位移为零的条件确定：

u_{z B} = 0

零挠度条件

梁和弯梁的一般挠度 v 可方便地使用 Maxwell-Mohr 积分确定：

v = \frac{1}{E I_{y}} \int_{L} M (x) m (x) d x

Maxwell-Mohr 积分

其中 I_y 为截面二次矩，M(x) 为由外力引起的弯矩，m(x) 为由单位力引起的弯矩。以下公式定义了在坐标 x₁ 下两个区域中的弯矩：

x_{1} \in [0, L] :

M (x_{1}) = \frac{p x_{1}^{2}}{2} - B_{z} x_{1},

m (x_{1}) = x_{1}

水平梁的弯矩

以及在坐标 x₂ 下：

x_{2} \in [0, L] :

M (x_{2}) = \frac{p L^{2}}{2} - B_{x} x_{2} - B_{z} L,

m (x_{2}) = L - x_{2}

立柱中的弯矩

因此，B 点的挠度等于：

u_{z B} = \frac{1}{E I_{y}} (\int_{0}^{L} M (x_{1}) m (x_{1}) d x_{1} + \int_{0}^{L} M (x_{2}) m (x_{2}) d x_{2}) = 0

点 B 的挠度计算

考虑平衡方程和挠度条件，支座反力为：

A_{x} = \frac{1}{16} p L,

A_{z} = \frac{9}{16} p L,

B_{x} = \frac{1}{16} p L,

B_{z} = \frac{7}{16} p L

结果反力

最大应力出现在弯矩最大 M_max 的位置。该位置位于水平梁上，距离为：

x_{1} = \frac{7}{16} L

最大弯矩位置

水平梁还受到轴向反力 B_x 的作用。上表面上的最大应力 σ_x,max 由最大弯曲应力和由轴向反力 B_x 引起的压应力组成，因此：

σ_{x, \max} = σ_{b, \max} + σ_{a} = \frac{6 M_{\max}}{w h^{2}} + \frac{- B_{x}}{w h} = - 92.375 MPa

最大应力

备注：对于梁和水平板，忽略剪切效应。对于竖向板和实体，则考虑这些效应。

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