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2026-03-19

VE0087 | 均布载荷作用下的弯曲梁

一个弯曲梁由两个相互垂直、长度为 L 的梁和矩形截面 w × h 组成。它承受一个分布载荷 p。在忽略自重的情况下，目标是确定水平梁顶部表面的最大应力 σ_x,max。

均布荷载作用下的弯曲梁

平衡方程表明给定的结构为静不定。要完成方程组，需要找到进一步的约束条件。

x : A_{x} - B_{x} = 0,

z : p L - A_{z} - B_{z} = 0,

M_{A} : \frac{p L^{2}}{2} - B_{z} L - B_{x} L = 0

力平衡方程

其中 A_x, A_z, B_x, B_z 为相应的反作用力。缺失的方程通过B点z方向的零位移条件定义：

u_{z B} = 0

零挠度条件

梁和弯梁的一般变形 v 可以通过 Maxwell-Mohr 积分方便地确定：

v = \frac{1}{E I_{y}} \int_{L} M (x) m (x) d x

Maxwell-Mohr 积分

其中 I_y 是截面的二次矩，M(x) 是由外力引起的弯矩，m(x) 是由单位力引起的弯矩。以下公式定义了坐标 x₁ 两个区域的这些弯矩：

x_{1} \in [0, L] :

M (x_{1}) = \frac{p x_{1}^{2}}{2} - B_{z} x_{1},

m (x_{1}) = x_{1}

水平梁的弯矩

以及坐标 x₂：

x_{2} \in [0, L] :

M (x_{2}) = \frac{p L^{2}}{2} - B_{x} x_{2} - B_{z} L,

m (x_{2}) = L - x_{2}

立柱中的弯矩

点 B 的变形等于：

u_{z B} = \frac{1}{E I_{y}} (\int_{0}^{L} M (x_{1}) m (x_{1}) d x_{1} + \int_{0}^{L} M (x_{2}) m (x_{2}) d x_{2}) = 0

点 B 的挠度计算

根据平衡方程和变形条件，反作用力等于：

A_{x} = \frac{1}{16} p L,

A_{z} = \frac{9}{16} p L,

B_{x} = \frac{1}{16} p L,

B_{z} = \frac{7}{16} p L

结果反力

最大应力发生在最大弯矩 M_max 点。这个点位于水平梁上的距离：

x_{1} = \frac{7}{16} L

最大弯矩位置

水平梁也承受轴向反作用力 B_x。顶部表面的最大应力 σ_x,max 由最大弯曲应力和由轴向反作用力 B_x 引起的压力应力组成，因此：

σ_{x, \max} = σ_{b, \max} + σ_{a} = \frac{6 M_{\max}}{w h^{2}} + \frac{- B_{x}}{w h} = - 92.375 MPa

最大应力

备注：在梁和水平板的情况下，忽略了剪切效应。垂直板和实体情况下包括这些效应。

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