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2026-03-19

VE0087 | Viga curvada com carga distribuída

Descrição

Uma viga curva consiste em duas vigas perpendiculares de comprimento L e seção transversal retangular w × h. Ela é carregada por uma carga distribuída p. Ao negligenciar o peso próprio, o objetivo é determinar a tensão máxima σ_x,max na superfície superior da viga horizontal.

Material	Isotrópico Linear Elástico	Módulo de Elasticidade	E	210000.000	MPa
Material	Isotrópico Linear Elástico	Razão de Poisson	ν	0.296	-
Geometria		Comprimento	L	1.000	m
		Largura da Seção Transversal	w	25.000	mm
		Altura da Seção Transversal	h	50.000	mm
Carga		Carga Distribuída	p	10.000	N/mm

Viga curvada com carga distribuída

Solução Analítica

As equações de equilíbrio indicam que a estrutura dada é estaticamente indeterminada. Para completar o conjunto de equações, deve-se encontrar uma restrição adicional.

x : A_{x} - B_{x} = 0,

z : p L - A_{z} - B_{z} = 0,

M_{A} : \frac{p L^{2}}{2} - B_{z} L - B_{x} L = 0

Equações de equilíbrio

onde A_x, A_z, B_x, B_z são as forças de reação correspondentes. A equação que falta é definida pela condição de deflexão zero no ponto B na direção z:

u_{z B} = 0

Condição de flecha zero

Viga curvada com carga distribuída – Diagrama de corpo livre

A deflexão geral v de vigas e vigas curvas pode ser convenientemente determinada pelo integral de Maxwell-Mohr:

v = \frac{1}{E I_{y}} \int_{L} M (x) m (x) d x

Integral de Maxwell-Mohr

onde I_y é o segundo momento de área, M(x) é o momento de flexão causado pelas forças externas e m(x) é o momento de flexão causado pela força unitária. As seguintes fórmulas definem esses momentos de flexão em duas regiões com coordenada x₁:

x_{1} \in [0, L] :

M (x_{1}) = \frac{p x_{1}^{2}}{2} - B_{z} x_{1},

m (x_{1}) = x_{1}

Momento fletor em viga horizontal

e coordenada x₂:

x_{2} \in [0, L] :

M (x_{2}) = \frac{p L^{2}}{2} - B_{x} x_{2} - B_{z} L,

m (x_{2}) = L - x_{2}

Momento fletor em viga vertical

A deflexão do ponto B é então igual a:

u_{z B} = \frac{1}{E I_{y}} (\int_{0}^{L} M (x_{1}) m (x_{1}) d x_{1} + \int_{0}^{L} M (x_{2}) m (x_{2}) d x_{2}) = 0

Flecha do ponto B - Cálculo

Considerando as equações de equilíbrio e a condição de deflexão, as forças de reação são iguais a:

A_{x} = \frac{1}{16} p L,

A_{z} = \frac{9}{16} p L,

B_{x} = \frac{1}{16} p L,

B_{z} = \frac{7}{16} p L

Forças de reação resultantes

A tensão máxima ocorre no ponto com o momento de flexão máximo M_max. Este ponto está na viga horizontal à distância:

x_{1} = \frac{7}{16} L

Posição do momento fletor máximo

A viga horizontal também é carregada pela força de reação axial B_x. A tensão máxima σ_x,max na superfície superior é composta pela tensão máxima de flexão e pela tensão de compressão causada pela força de reação axial B_x, portanto:

σ_{x, \max} = σ_{b, \max} + σ_{a} = \frac{6 M_{\max}}{w h^{2}} + \frac{- B_{x}}{w h} = - 92.375 MPa

Tensão máxima

Configurações do RFEM

Modelado no RFEM 5.39 e RFEM 6.13

Tamanho do elemento l_FE = 0.050 m

Número de incrementos: 10

Material isotrópico linear elástico é usado

A rigidez à cisalhamento dos membros é desativada

A teoria de flexão de Kirchhoff para placas é usada

Resultados

Entidade	Teoria σ_x,max [MPa]	RFEM 6 σ_x,max [MPa]	Razão [-]	RFEM 5 σ_x,max [MPa]	Razão [-]
Membro	- 92.375	- 91.774	0.993	- 91.774	0.993
Placa, horizontal		- 92.422	1.001	- 92.422	1.001
Placa, vertical		- 91.619	0.992	-	-
Sólido		- 91.176	0.987	-	-

Observação: O efeito de cisalhamento é negligenciado no caso da viga e placa horizontal. No caso da placa vertical e sólido, esses efeitos são incluídos.

Resultados do RFEM – Distribuição de tensões ao longo da viga curva

Resultados do RFEM – Distribuição de tensões ao longo de uma viga curvada

Resultados do RFEM – comportamento do momento fletor ao longo da viga curvada

Resultados do RFEM – Comportamento do momento de flexão ao longo de viga curvada

Modelo 000188 | Exemplo de verificação 000087 | 1

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Exemplo de verificação 000087 | 1

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