40x

19.3.2026

VE0087 | Zakřivený nosník se spojitým zatížením

Popis

Zakřivený nosník sestává ze dvou kolmých nosníků o délce L a obdélníkovém průřezu w × h. Je zatížen spojitým zatížením p. Cílem je určit maximální napětí σx,max na horní ploše vodorovného nosníku při zanedbání vlastní tíhy.

Materiál	Izotropní lineárně elastický	Modul pružnosti	E	210000.000	MPa
Materiál	Izotropní lineárně elastický	Poissonův poměr	ν	0.296	-
Geometrie		Délka	L	1.000	m
		Šířka průřezu	w	25.000	mm
		Výška průřezu	h	50.000	mm
Zatížení		Spojité zatížení	p	10.000	N/mm

Zakřivený nosník se spojitým zatížením

Analytické řešení

Z rovnic rovnováhy vyplývá, že daná konstrukce je staticky neurčitá. K doplnění soustavy rovnic je třeba najít další okrajové podmínky.

x : A_{x} - B_{x} = 0,

z : p L - A_{z} - B_{z} = 0,

M_{A} : \frac{p L^{2}}{2} - B_{z} L - B_{x} L = 0

Rovnice rovnováhy

kde Ax, Az, Bx, Bz jsou odpovídající reakční síly. Chybějící rovnice je definována podmínkou nulového průhybu v bodě B ve směru z:

u_{z B} = 0

Podmínka nulového průhybu

Zakřivený nosník se spojitým zatížením – schéma volného tělesa

Obecný průhyb v nosníků a zakřivených nosníků lze snadno určit pomocí Maxwell-Mohrova integrálu:

v = \frac{1}{E I_{y}} \int_{L} M (x) m (x) d x

Maxwell-Mohrův integrál

kde Iy je moment setrvačnosti plochy, M(x) je ohybový moment způsobený vnějšími silami a m(x) je ohybový moment způsobený jednotkovou silou. Následující vzorce definují tyto ohybové momenty ve dvou oblastech se souřadnicí x1:

x_{1} \in [0, L] :

M (x_{1}) = \frac{p x_{1}^{2}}{2} - B_{z} x_{1},

m (x_{1}) = x_{1}

Ohybový moment ve vodorovném nosníku

a souřadnicí x2:

x_{2} \in [0, L] :

M (x_{2}) = \frac{p L^{2}}{2} - B_{x} x_{2} - B_{z} L,

m (x_{2}) = L - x_{2}

Ohybový moment ve svislém nosníku

Průhyb bodu B je pak roven:

u_{z B} = \frac{1}{E I_{y}} (\int_{0}^{L} M (x_{1}) m (x_{1}) d x_{1} + \int_{0}^{L} M (x_{2}) m (x_{2}) d x_{2}) = 0

Výpočet průhybu bodu B

S ohledem na rovnice rovnováhy a podmínku průhybu jsou reakční síly rovny:

A_{x} = \frac{1}{16} p L,

A_{z} = \frac{9}{16} p L,

B_{x} = \frac{1}{16} p L,

B_{z} = \frac{7}{16} p L

Výsledkové reakční síly

Maximální napětí nastává v bodě s maximálním ohybovým momentem Mmax. Tento bod leží na vodorovném nosníku ve vzdálenosti:

x_{1} = \frac{7}{16} L

Poloha maximálního ohybového momentu

Vodorovný nosník je také zatížen osovou reakční silou Bx. Maximální napětí σx,max na horní ploše se skládá z maximálního ohybového napětí a tlakového napětí způsobeného osovou reakční silou Bx, tedy:

σ_{x, \max} = σ_{b, \max} + σ_{a} = \frac{6 M_{\max}}{w h^{2}} + \frac{- B_{x}}{w h} = - 92.375 MPa

Maximální napětí

Nastavení RFEM

Model by vytvořen v RFEM 5.39 a RFEM 6.13

Velikost prvku lFE = 0,050 m

Počet kroků: 10

Použit izotropní lineárně elastický materiál

Smyková tuhost prvků je deaktivována

Použita Kirchhoffova teorie ohybu pro desky

Výsledky

Entita	Teorie σ_x,max [MPa]	RFEM 6 σ_x,max [MPa]	Využití [-]	RFEM 5 σ_x,max [MPa]	Využití [-]
Člen	- 92.375	- 91.774	0.993	- 91.774	0.993
Deska, vodorovná		- 92.422	1.001	- 92.422	1.001
Deska, svislá		- 91.619	0.992	-	-
Těleso		- 91.176	0.987	-	-

Poznámka: U nosníku a vodorovné desky se účinky smyku zanedbávají. U svislé desky a plného tělesa se tyto účinky zohledňují.

Výsledky programu RFEM – rozložení napětí podél zakřiveného nosníku

Výsledky RFEM – průběh ohybového momentu podél zakřiveného nosníku

Model 000188 | Verifikační příklad 000087 | 1

667x

14x

Verifikační příklad 000087 | 1

;