72x

2026-03-19

VE0087 | Belka zakrzywiona z obciążeniem rozłożonym

Opis

Belka zakrzywiona składa się z dwóch prostopadłych belek o długości L i prostokątnym przekroju w × h. Jest obciążona obciążeniem rozłożonym p. Pomijając ciężar własny, celem jest wyznaczenie maksymalnego naprężenia σ_x,max na górnej powierzchni belki poziomej.

Materiał	Izotropowy liniowo sprężysty	Moduł sprężystości	E	210000.000	MPa
Materiał	Izotropowy liniowo sprężysty	Współczynnik Poissona	ν	0.296	-
Geometria		Długość	L	1.000	m
		Szerokość przekroju	w	25.000	mm
		Wysokość przekroju	h	50.000	mm
Obciążenie		Obciążenie rozłożone	p	10.000	N/mm

Belka zakrzywiona z obciążeniem rozłożonym

Rozwiązanie analityczne

Równania równowagi wskazują, że dana konstrukcja jest statycznie niewyznaczalna. Aby uzupełnić układ równań, należy ustanowić dodatkowy warunek zgodności odkształceń.

x : A_{x} - B_{x} = 0,

z : p L - A_{z} - B_{z} = 0,

M_{A} : \frac{p L^{2}}{2} - B_{z} L - B_{x} L = 0

Równania równowagi

gdzie A_x, A_z, B_x, B_z są odpowiednimi siłami reakcji. Brakujące równanie definiuje się na podstawie warunku zerowego ugięcia w punkcie B w kierunku z:

u_{z B} = 0

Warunek zerowego ugięcia

Belka krzywoliniowa z obciążeniem rozłożonym - wykres sił wewnętrznych

Belka zakrzywiona z rozłożonym obciążeniem - Wykres brył wolnych

Ogólne ugięcie v belek i belek zakrzywionych można wygodnie wyznaczyć za pomocą całki Maxwella-Mohra:

v = \frac{1}{E I_{y}} \int_{L} M (x) m (x) d x

Całka Maxwella-Mohra

gdzie I_y jest momentem bezwładności przekroju, M(x) jest momentem zginającym wywołanym przez siły zewnętrzne, a m(x) jest momentem zginającym wywołanym przez siłę jednostkową. Następujące wzory definiują te momenty zginające w dwóch obszarach o współrzędnej x₁:

x_{1} \in [0, L] :

M (x_{1}) = \frac{p x_{1}^{2}}{2} - B_{z} x_{1},

m (x_{1}) = x_{1}

Moment zginający w belce poziomej

oraz współrzędnej x₂:

x_{2} \in [0, L] :

M (x_{2}) = \frac{p L^{2}}{2} - B_{x} x_{2} - B_{z} L,

m (x_{2}) = L - x_{2}

Moment zginający w belce pionowej

Ugięcie punktu B jest zatem równe:

u_{z B} = \frac{1}{E I_{y}} (\int_{0}^{L} M (x_{1}) m (x_{1}) d x_{1} + \int_{0}^{L} M (x_{2}) m (x_{2}) d x_{2}) = 0

Ugięcie punktu B Obliczenia

Uwzględniając równania równowagi i warunek ugięcia, siły reakcji są równe:

A_{x} = \frac{1}{16} p L,

A_{z} = \frac{9}{16} p L,

B_{x} = \frac{1}{16} p L,

B_{z} = \frac{7}{16} p L

Reakcje sił wynikowych

Maksymalne naprężenie występuje w punkcie o maksymalnym momencie zginającym M_max. Punkt ten znajduje się na belce poziomej w odległości:

x_{1} = \frac{7}{16} L

Pozycja maksymalnego momentu zginającego

Belka pozioma jest również obciążona osiową siłą reakcji B_x. Maksymalne naprężenie σ_x,max na górnej powierzchni składa się z maksymalnego naprężenia zginającego oraz naprężenia ściskającego wywołanego przez osiową siłę reakcji B_x, zatem:

σ_{x, \max} = σ_{b, \max} + σ_{a} = \frac{6 M_{\max}}{w h^{2}} + \frac{- B_{x}}{w h} = - 92.375 MPa

Maksymalne naprężenie

Ustawienia RFEM

Zamodelowano w RFEM 5.39 oraz RFEM 6.13

Wielkość elementu l_FE = 0.050 m

Liczba przyrostów: 10

Zastosowano materiał izotropowy liniowo sprężysty

Sztywność na ścinanie prętów jest wyłączona

Zastosowano teorię zginania Kirchhoffa dla płyt

Wyniki

Obiekt	Teoria σ_x,max [MPa]	RFEM 6 σ_x,max [MPa]	Stosunek [-]	RFEM 5 σ_x,max [MPa]	Stosunek [-]
Pręt	- 92.375	- 91.774	0.993	- 91.774	0.993
Płyta, pozioma		- 92.422	1.001	- 92.422	1.001
Płyta, pionowa		- 91.619	0.992	-	-
Bryła		- 91.176	0.987	-	-

Uwaga: Efekty ścinania są pomijane dla belek i płyt poziomych. W przypadku płyt pionowych i brył efekty te są uwzględniane.

Wyniki RFEM – Rozkład naprężeń wzdłuż zakrzywionej belki

RFEM: wyniki – rozkład naprężeń na zakrzywionej belce

RFEM – Wyniki: zachowanie momentu zginającego wzdłuż zakrzywionej belki

Wyniki RFEM – Rozkład momentów zginających wzdłuż zakrzywionej belki

Model 000188 | Verification Example 000087 | 1

693x

15x

Przykład weryfikacji 000087 | 1

;