24x

2026-06-12

VE0092 | Тонкостенный тороидальный сосуд

Описание

Тонкостенный тороидальный сосуд нагружен внутренним давлением p согласно следующему рисунку. Пренебрегая собственным весом, определите напряжение по Мизесу на внутреннем и внешнем радиусах в контрольных точках 1 и 2.

Материал	Изотропный линейно-упругий	Модуль упругости	E	210000.000	МПа
Материал	Изотропный линейно-упругий	Коэффициент Пуассона	ν	0.296	-
Геометрия	Тороидальный сосуд	Малый радиус	r	150.000	мм
		Большой радиус	R	500.000	мм
		Толщина стенки	t	2.000	мм
Нагрузка	Внутреннее давление	Внутреннее давление	p	0.500	МПа

Тонкостенный тороидальный сосуд

Аналитическое решение

Аналитическое решение основано на теории тонкостенных сосудов. Эта теория была представлена в VE0084 | Тонкостенный сферический сосуд . Напряженное состояние тонкостенного сосуда в общем виде описывается уравнением Лапласа:

\frac{σ_{1}}{r_{1}} + \frac{σ_{2}}{r_{2}} = \frac{p}{t}

Уравнение Лапласа

Где σ₁, σ₂ — напряжения в меридиональной плоскости и плоскости, перпендикулярной меридиональной, соответственно, а r₁, r₂ — соответствующие радиусы кривизны. Указанные напряжения соответствуют главным напряжениям. Уравнение Лапласа можно переписать в виде нормальных сил на единицу длины в соответствующем направлении N_φ, N_θ:

\frac{N_{φ}}{r_{1}} + \frac{N_{θ}}{r_{2}} = p

Уравнение равновесия в форме нормальных сил

Радиусы r₁ и r₂ в случае тороидального сосуда определяются как:

r_{1} = r,

r_{2} = \frac{r_{0}}{\sin φ} = r + \frac{R}{\sin φ}

Определение радиусов

Где r₀ определяет радиус параллельного круга в соответствии со следующим рисунком.

r_{0} = R + r \sin φ

Радиус параллельного круга

Тонкостенный тороидальный сосуд - Эскиз проблемы

Тонкостенный тороидальный сосуд - Схема задачи

Из равновесия внутренних и внешних сил нормальная сила N_φ может быть определена следующим образом:

N_{φ} = \frac{p r (r_{0} + R)}{2 r_{0}}

Меридиональное усилие на единицу длины

Подставляя в уравнение сил, нормальная сила N_θ затем определяется как:

N_{θ} = \frac{p r}{2}

Окружная сила на единицу длины

На основе приведенных выше формул для нормальных сил на единицу длины можно определить соответствующие напряжения:

σ_{φ} = \frac{p r (r_{0} + R)}{2 t r_{0}},

σ_{θ} = \frac{p r}{2 t}

Меридиональные и окружные напряжения

Напряжение по Мизесу можно рассчитать по формуле:

σ_{M i s e s} = \sqrt{σ_{φ}^{2} + σ_{θ}^{2} - σ_{φ} σ_{θ}}

Эквивалентное напряжение Мизеса

Напряжения по Мизесу в контрольных точках 1 и 2 затем следуют:

σ_{M i s e s 1} \approx 28.810 M P a,

σ_{M i s e s 2} \approx 39.369 M P a

Результирующее напряжение в контрольных точках

Настройки RFEM

Моделирование в RFEM 6.14 и RFEM 5.39
Размер элемента l_FE = 0.005 м
Используется изотропный линейно-упругий материал
Используется расчет больших деформаций из-за мембранного оболочечного элемента

Результаты

Величина	Теория [МПа]	RFEM 6 [МПа]	Соотношение [-]	RFEM 5 [МПа]	Соотношение [-]
σ_{Mises 1}	28.810	28.812	1.000	28.812	1.000
σ_{Mises 2}	39.369	39.630	1.007	39.630	1.007

Примечание: Напряжение оценивается на срединной поверхности тороидального сосуда.

Сравнение распределения напряжений по Мизесу на меридианной окружности -- теория и результаты RFEM, обозначение контрольных точек 1 и 2

Сравнение распределения напряжений по Мизесу вдоль меридианной окружности -- Теоретические результаты и результаты RFEM, Обозначение контрольных точек 1 и 2

Распределение напряжений по Мизесу в RFEM

Модель 006168 | Проверочный пример 000092 | 1

78x

Верификационный пример 000092 | 1

;