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12.06.2026

VE0092 | Récipient toroïdal à paroi mince

Description

Un récipient toroïdal à paroi mince est soumis à une pression interne p selon la figure suivante. En négligeant le poids propre, déterminez la contrainte de von Mises à la fois sur le rayon intérieur et extérieur aux points de contrôle 1 et 2.

Matériau	Linéaire Élastique Isotrope	Module d'Élasticité	E	210000.000	MPa
Matériau	Linéaire Élastique Isotrope	Coefficient de Poisson	ν	0.296	-
Géométrie	Récipient Toroïdal	Petit Rayon	r	150.000	mm
		Grand Rayon	R	500.000	mm
		Épaisseur de Paroi	t	2.000	mm
Charge	Pression Interne	Pression Interne	p	0.500	MPa

Réservoir Toroïdal à Paroi Mince

Solution Analytique

La solution analytique est basée sur la théorie des récipients à paroi mince. Cette théorie a été introduite dans VE0084 | Récipient sphérique à paroi mince . L'état de contrainte du récipient à paroi mince est généralement décrit par l'équation de Laplace :

\frac{σ_{1}}{r_{1}} + \frac{σ_{2}}{r_{2}} = \frac{p}{t}

Équation de Laplace

Où σ₁, σ₂ sont respectivement les contraintes dans le plan méridien et le plan perpendiculaire au plan méridien, et r₁, r₂ sont les rayons de courbure correspondants. Les contraintes mentionnées correspondent aux contraintes principales. L'équation de Laplace peut être réécrite sous la forme des efforts normaux par unité de longueur dans la direction appropriée N_φ, N_θ :

\frac{N_{φ}}{r_{1}} + \frac{N_{θ}}{r_{2}} = p

Équation d’équilibre sous forme d’efforts normaux

Les rayons r₁ et r₂ sont, dans le cas du récipient toroïdal, définis comme suit :

r_{1} = r,

r_{2} = \frac{r_{0}}{\sin φ} = r + \frac{R}{\sin φ}

Définition des rayons

Où r₀ définit le rayon du cercle parallèle selon la figure suivante.

r_{0} = R + r \sin φ

Rayon du cercle parallèle

Croquis du problème - Réservoir toroïdal à paroi mince

Cuve toroïdale à paroi mince – Schéma du problème

À partir de l'équilibre des forces internes et externes, l'effort normal N_φ peut être déterminé comme suit :

N_{φ} = \frac{p r (r_{0} + R)}{2 r_{0}}

Force méridienne par unité de longueur

En substituant dans l'équation des forces, l'effort normal N_θ s'ensuit :

N_{θ} = \frac{p r}{2}

Force circonférentielle par unité de longueur

Sur la base des formules mentionnées ci-dessus pour les efforts normaux par unité de longueur, les contraintes appropriées peuvent être définies :

σ_{φ} = \frac{p r (r_{0} + R)}{2 t r_{0}},

σ_{θ} = \frac{p r}{2 t}

Contraintes méridienne et circonférentielle

La contrainte de von Mises peut être calculée selon la formule :

σ_{M i s e s} = \sqrt{σ_{φ}^{2} + σ_{θ}^{2} - σ_{φ} σ_{θ}}

Contrainte équivalente de von Mises

La contrainte de von Mises aux points de contrôle 1 et 2 s'ensuit :

σ_{M i s e s 1} \approx 28.810 M P a,

σ_{M i s e s 2} \approx 39.369 M P a

Résultat contrainte aux points de test

Paramètres RFEM

Modélisé dans RFEM 6.14 et RFEM 5.39
Taille d'élément l_FE = 0.005 m
Un matériau linéaire élastique isotrope est utilisé
L'analyse en grands déplacements est utilisée en raison de l'élément de coque membrane

Résultats

Quantité	Théorie [MPa]	RFEM 6 [MPa]	Ratio [-]	RFEM 5 [MPa]	Ratio [-]
σ_{Mises 1}	28.810	28.812	1.000	28.812	1.000
σ_{Mises 2}	39.369	39.630	1.007	39.630	1.007

Remarque : La contrainte est évaluée au niveau de la surface moyenne du récipient toroïdal.

Comparaison de l'évolution de la contrainte de von Mises sur le cercle méridien -- théorie et résultats RFEM, désignation des points de test 1 et 2

Comparaison de l'Évolution des Contraintes de Von Mises sur le Cercle Méridien -- Théorie et Résultats RFEM, Désignation des Points de Test 1 et 2

Répartition de la contrainte de von Mises dans RFEM

Distribution des contraintes de Von Mises dans RFEM

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Exemple de vérification 000092 | 1

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