E-shop

Kontaktovat prodejní tým

Trial verze 90 dní zdarma

Verifikační příklad

Zpět na příklady

24x

009092

12.6.2026

VE0092 | Tenkostěnná toroidní nádoba

Popis

Tenkostěnná toroidní nádoba je zatížena vnitřním tlakem p dle následujícího obrázku. Při zanedbání vlastní tíhy určete von Misesovo napětí na vnitřním a vnějším poloměru v testovacích bodech 1 a 2.

Materiál	Izotropní lineárně elastický	Modul pružnosti	E	210000,000	MPa
Materiál	Izotropní lineárně elastický	Poissonovo číslo	ν	0,296	-
Geometrie	Toroidní nádoba	Malý poloměr	r	150,000	mm
		Velký poloměr	R	500,000	mm
		Tloušťka stěny	t	2,000	mm
Zatížení	Vnitřní tlak	Vnitřní tlak	p	0,500	MPa

Tenkostěnná toroidní nádoba

Tenkostěnná Toroidní Nádoba

Analytické řešení

Analytické řešení je založeno na teorii tenkostěnných nádob. Tato teorie byla představena v VE0084 | Tenkostěnná kulová nádoba . Napjatost tenkostěnné nádoby je obecně popsána Laplaceovou rovnicí:

\frac{σ_{1}}{r_{1}} + \frac{σ_{2}}{r_{2}} = \frac{p}{t}

Laplaceova rovnice

Kde σ₁, σ₂ jsou napětí v meridiánové rovině a v rovině kolmé k meridiánové rovině a r₁, r₂ jsou odpovídající poloměry křivosti. Uvedená napětí odpovídají hlavním napětím. Laplaceovu rovnici lze přepsat do tvaru normálových sil na jednotku délky v příslušném směru N_φ, N_θ:

\frac{N_{φ}}{r_{1}} + \frac{N_{θ}}{r_{2}} = p

Rovnováha ve formě normálových sil

Poloměry r₁ a r₂ jsou v případě toroidní nádoby definovány jako:

r_{1} = r,

r_{2} = \frac{r_{0}}{\sin φ} = r + \frac{R}{\sin φ}

Definice poloměrů

Kde r₀ definuje poloměr rovnoběžkové kružnice podle následujícího obrázku.

r_{0} = R + r \sin φ

Poloměr rovnoběžkové kružnice

Tenkostěnná toroidní nádoba - Schéma úlohy

Tenkostěnná Toroidální Nádoba – Schéma Úlohy

Z rovnováhy vnitřních a vnějších sil lze normálovou sílu N_φ určit následovně:

N_{φ} = \frac{p r (r_{0} + R)}{2 r_{0}}

Poledníková síla na jednotku délky

Dosazením do silové rovnice pak plyne normálová síla N_θ:

N_{θ} = \frac{p r}{2}

Obvodová síla na jednotku délky

Na základě výše uvedených vzorců pro normálové síly na jednotku délky lze definovat odpovídající napětí:

σ_{φ} = \frac{p r (r_{0} + R)}{2 t r_{0}},

σ_{θ} = \frac{p r}{2 t}

Poledníková a obvodová napětí

Von Misesovo napětí lze vypočítat podle vzorce:

σ_{M i s e s} = \sqrt{σ_{φ}^{2} + σ_{θ}^{2} - σ_{φ} σ_{θ}}

Ekvivalentní napětí von Mises

Von Misesovo napětí v testovacích bodech 1 a 2 pak činí:

σ_{M i s e s 1} \approx 28.810 M P a,

σ_{M i s e s 2} \approx 39.369 M P a

Výsledné napětí v testovacích bodech

Nastavení RFEM

Modelováno v RFEM 6.14 a RFEM 5.39
Velikost prvku l_FE = 0,005 m
Použit izotropní lineárně elastický materiál
Analýza velkých deformací je použita z důvodu membránového skořepinového prvku

Výsledky

Veličina	Teorie [MPa]	RFEM 6 [MPa]	Poměr [-]	RFEM 5 [MPa]	Poměr [-]
σ_{Mises 1}	28,810	28,812	1,000	28,812	1,000
σ_{Mises 2}	39,369	39,630	1,007	39,630	1,007

Poznámka: Napětí je vyhodnoceno na střednicové ploše toroidní nádoby.

Porovnání průběhu von Misesova napětí na meridiánovém kruhu -- teorie a výsledky RFEM, označení testovacích bodů 1 a 2

Srovnání průběhu napětí von Mises na meridiánové kružnici -- teorie a výsledky RFEM, označení zkušebních bodů 1 a 2

Rozložení napětí podle Von Mises v programu RFEM

Rozložení napětí Von Mises v RFEM

Model 006168 | Verifikační příklad 000092 | 1

78x

5x

Ověřovací příklad 000092 | 1

;