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12. Juni 2026

VE0092 | Dünnwandiger toroidaler Behälter

Beschreibung

Ein dünnwandiger torusförmiger Behälter wird durch Innendruck p gemäß der folgenden Abbildung belastet. Unter Vernachlässigung des Eigengewichts ist die Vergleichsspannung nach von Mises sowohl am Innen- als auch am Außenradius an den Testpunkten 1 und 2 zu bestimmen.

Material	Isotrop Linear Elastisch	Elastizitätsmodul	E	210000,000	MPa
Material	Isotrop Linear Elastisch	Querdehnzahl	ν	0,296	-
Geometrie	Torusförmiger Behälter	Kleiner Radius	r	150,000	mm
		Großer Radius	R	500,000	mm
		Wanddicke	t	2,000	mm
Belastung	Innendruck	Innendruck	p	0,500	MPa

Dünnwandiger Toroidalbehälter

Analytische Lösung

Die analytische Lösung basiert auf der Theorie dünnwandiger Behälter. Diese Theorie wurde in VE0084 | Dünnwandiger Kugelbehälter eingeführt. Der Spannungszustand des dünnwandigen Behälters wird allgemein durch die Laplace-Gleichung beschrieben:

\frac{σ_{1}}{r_{1}} + \frac{σ_{2}}{r_{2}} = \frac{p}{t}

Laplace-Gleichung

Wobei σ₁, σ₂ Spannungen in der Meridianebene bzw. der Ebene senkrecht zur Meridianebene sind und r₁, r₂ die entsprechenden Krümmungsradien. Die genannten Spannungen entsprechen den Hauptspannungen. Die Laplace-Gleichung kann in die Form der Normalkräfte pro Längeneinheit in der entsprechenden Richtung N_φ, N_θ umgeschrieben werden:

\frac{N_{φ}}{r_{1}} + \frac{N_{θ}}{r_{2}} = p

Gleichgewichtsgleichung in Form von Normalkräften

Die Radien r₁ und r₂ sind im Fall des torusförmigen Behälters definiert als:

r_{1} = r,

r_{2} = \frac{r_{0}}{\sin φ} = r + \frac{R}{\sin φ}

Radien-Definition

Wobei r₀ den Radius des Breitenkreises gemäß der folgenden Abbildung definiert.

r_{0} = R + r \sin φ

Radius des Parallelkreises

Dünnwandiger Torusbehälter – Problemskizze

Dünnwandiger Ringbehälter – Problemskizze

Aus dem Gleichgewicht der inneren und äußeren Kräfte kann die Normalkraft N_φ wie folgt bestimmt werden:

N_{φ} = \frac{p r (r_{0} + R)}{2 r_{0}}

Umfangskraft pro Längeneinheit

Durch Einsetzen in die Kraftgleichung ergibt sich dann die Normalkraft N_θ:

N_{θ} = \frac{p r}{2}

Umfangskraft pro Längeneinheit

Basierend auf den oben genannten Formeln für die Normalkräfte pro Längeneinheit können die entsprechenden Spannungen definiert werden:

σ_{φ} = \frac{p r (r_{0} + R)}{2 t r_{0}},

σ_{θ} = \frac{p r}{2 t}

Meridional- und Umfangsspannung

Die Vergleichsspannung nach von Mises kann gemäß der Formel berechnet werden:

σ_{M i s e s} = \sqrt{σ_{φ}^{2} + σ_{θ}^{2} - σ_{φ} σ_{θ}}

Vergleichsspannung nach von Mises

Die Vergleichsspannung nach von Mises in den Testpunkten 1 und 2 ergibt sich dann zu:

σ_{M i s e s 1} \approx 28.810 M P a,

σ_{M i s e s 2} \approx 39.369 M P a

Ergebnisspannung an Testpunkten

RFEM-Einstellungen

Modelliert in RFEM 6.14 und RFEM 5.39
Elementgröße l_FE = 0,005 m
Es wird isotropes, linear elastisches Material verwendet
Berechnung nach Theorie großer Verformungen wird aufgrund des Membranschalenelements verwendet

Ergebnisse

Größe	Theorie [MPa]	RFEM 6 [MPa]	Verhältnis [-]	RFEM 5 [MPa]	Verhältnis [-]
σ_{Mises 1}	28,810	28,812	1,000	28,812	1,000
σ_{Mises 2}	39,369	39,630	1,007	39,630	1,007

Hinweis: Die Spannung wird an der Mittelfläche des torusförmigen Behälters ausgewertet.

Vergleich des Verlaufs der von-Mises-Spannung auf dem Meridiankreis -- Theorie und RFEM-Ergebnisse, Bezeichnung der Testpunkte 1 und 2

Vergleich des Von-Mises-Spannungsverlaufs entlang des Meridiankreises -- Theorie und RFEM-Ergebnisse, Bezeichnung der Testpunkte 1 und 2

Von-Mises-Spannungsverteilung in RFEM

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Verifikationsbeispiel 000092 | 1

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