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2026-06-12

VE0092 | Reservatório Toroidal de Paredes Finas

Descrição

Um vaso toroidal de parede fina é carregado por meio de uma pressão interna p de acordo com a figura seguinte. Desprezando o peso próprio, determine a tensão de von Mises no raio interno e no raio externo nos pontos de teste 1 e 2.

Material	Elástico Linear Isotrópico	Módulo de Elasticidade	E	210000,000	MPa
Material	Elástico Linear Isotrópico	Coeficiente de Poisson	ν	0,296	-
Geometria	Vaso Toroidal	Raio Menor	r	150,000	mm
		Raio Maior	R	500,000	mm
		Espessura da Parede	t	2,000	mm
Carga	Pressão Interna	Pressão Interna	p	0,500	MPa

Vaso Toroidal de Parede Fina

Solução Analítica

A solução analítica é baseada na teoria de vasos de parede fina. Esta teoria foi introduzida em VE0084 | Reservatório Esférico de Paredes Finas . O estado de tensão do vaso de parede fina é geralmente descrito pela equação de Laplace:

\frac{σ_{1}}{r_{1}} + \frac{σ_{2}}{r_{2}} = \frac{p}{t}

Equação de Laplace

Onde σ₁, σ₂ são as tensões no plano meridiano e no plano perpendicular ao plano meridiano, respetivamente, e r₁, r₂ são os raios de curvatura correspondentes. As tensões mencionadas correspondem às tensões principais. A equação de Laplace pode ser reescrita na forma das forças normais por unidade de comprimento na direção apropriada N_φ, N_θ:

\frac{N_{φ}}{r_{1}} + \frac{N_{θ}}{r_{2}} = p

Equação de equilíbrio na forma de forças normais

Os raios r₁ e r₂ são, no caso do vaso toroidal, definidos como:

r_{1} = r,

r_{2} = \frac{r_{0}}{\sin φ} = r + \frac{R}{\sin φ}

Definição de Raios

Onde r₀ define o raio do círculo paralelo de acordo com a figura seguinte.

r_{0} = R + r \sin φ

Raio do Círculo Paralelo

Esboço do Problema – Vaso Toroidal de Parede Fina

Reservatório Toroidal de Parede Fina – Esquema do Problema

Do equilíbrio das forças internas e externas, a força normal N_φ pode ser determinada como se segue:

N_{φ} = \frac{p r (r_{0} + R)}{2 r_{0}}

Força meridional por unidade de comprimento

Substituindo na equação de forças, a força normal N_θ resulta então:

N_{θ} = \frac{p r}{2}

Força circunferencial por unidade de comprimento

Com base nas fórmulas acima mencionadas para as forças normais por unidade de comprimento, as tensões correspondentes podem ser definidas:

σ_{φ} = \frac{p r (r_{0} + R)}{2 t r_{0}},

σ_{θ} = \frac{p r}{2 t}

Tensão meridional e circunferencial

A tensão de von Mises pode ser calculada de acordo com a fórmula:

σ_{M i s e s} = \sqrt{σ_{φ}^{2} + σ_{θ}^{2} - σ_{φ} σ_{θ}}

Tensão equivalente de von Mises

A tensão de von Mises nos pontos de teste 1 e 2 resulta então:

σ_{M i s e s 1} \approx 28.810 M P a,

σ_{M i s e s 2} \approx 39.369 M P a

Tensão resultante nos pontos de teste

Configurações do RFEM

Modelado no RFEM 6.14 e RFEM 5.39
Tamanho do elemento l_FE = 0,005 m
É utilizado material elástico linear isotrópico
É utilizada Análise de Grandes Deformações devido ao elemento de casca de membrana

Resultados

Quantidade	Teoria [MPa]	RFEM 6 [MPa]	Relação [-]	RFEM 5 [MPa]	Relação [-]
σ_{Mises 1}	28,810	28,812	1,000	28,812	1,000
σ_{Mises 2}	39,369	39,630	1,007	39,630	1,007

Observação: A tensão é avaliada na superfície média do vaso toroidal.

Comparação do curso de tensão de von Mises no círculo meridiano -- teoria e resultados do RFEM, designação dos pontos de teste 1 e 2

Comparação da Evolução da Tensão de von Mises no Círculo Meridiano -- Teoria e Resultados do RFEM, Designação dos Pontos de Teste 1 e 2

Distribuição de tensões de von Mises no RFEM

Distribuição de tensão de Von Mises no RFEM

Modelo 006168 | Exemplo de Verificação 000092 | 1

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Verificação Exemplo 000092 | 1

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